1樓：aii豬豬俠
平方和sn= n(n+1)(2n+1)/6，
推導：(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1,
n^3-(n-1)^3=3(n-1)^2+3(n-1)+1,
2^3-1^3=3*(1^2)+3*1+1,
把這n個等式兩端分別相加,得：
(n+1)^3 -1=3(1^2+2^2+3^2+.+n^2)+3(1+2+3+...+n)+n,
由於1+2+3+...+n=(n+1)n/2,
1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 。
立方和sn =[n(n+1)/2]^2，
推導： (n+1)^4-n^4=4n^3+6n^2+4n+1，
n^4-(n-1)^4=4(n-1)^3+6(n-1)^2+4(n-1)+1，
2^4-1^4=4*1^3+6*1^2+4*1+1,
把這n個等式兩端分別相加,得：
(n+1)^4-1=4(1^3+2^3+3^3...+n^3)+6(1^2+2^2+...+n^2)+4(1+2+3+...+n)+n
由於1+2+3+...+n=(n+1)n/2,
1^2+2^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6，
1^3+2^3+3^3+...+n^3=[n(n+1)/2]^2
正整數1到n的平方和，立方和公式是怎麼推導的
2樓：匿名使用者
an = n^2
= n(n+1) -n
=(1/3)[ n(n+1)(n+2) -(n-1)n(n+1) ] -(1/2) [ n(n+1) -(n-1)n]
sn =a1+a2+...+an
=(1/3)n(n+1)(n+2) -(1/2)n(n+1)=(1/6)n(n+1)( 2(n+2) -3)=(1/6)n(n+1)(2n+1)
--------
bn=n^3
=(n-1)n(n+1) +n
=(1/4)[ (n-1)n(n+1)(n+2) - (n-2)(n-1)n(n+1)] + (1/2)[ n(n+1) -(n-1)n]
tn =b1+b2+...+bn
=(1/4)(n-1)n(n+1)(n+2) + (1/2)n(n+1)
=(1/4)n(n+1).[ (n-1)(n+2) +2 ]=(1/4)n(n+1).( n^2 +n)=(1/4)[n(n+1)]^2
1到n的平方和，立方和公式是怎麼推導的
3樓：教育小百科是我
平方和sn= n(n+1)(2n+1)/6，
推導：(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1,
n^3-(n-1)^3=3(n-1)^2+3(n-1)+1,
2^3-1^3=3*(1^2)+3*1+1,
把這n個等式兩端分別相加,得：
(n+1)^3 -1=3(1^2+2^2+3^2+.+n^2)+3(1+2+3+...+n)+n,
由於1+2+3+...+n=(n+1)n/2,
1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 。
立方和sn =[n(n+1)/2]^2，
推導： (n+1)^4-n^4=4n^3+6n^2+4n+1，
n^4-(n-1)^4=4(n-1)^3+6(n-1)^2+4(n-1)+1，
2^4-1^4=4*1^3+6*1^2+4*1+1,
把這n個等式兩端分別相加,得：
(n+1)^4-1=4(1^3+2^3+3^3...+n^3)+6(1^2+2^2+...+n^2)+4(1+2+3+...+n)+n
由於1+2+3+...+n=(n+1)n/2,
1^2+2^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6，
1^3+2^3+3^3+...+n^3=[n(n+1)/2]^2
擴充套件資料：
平方和就是2個或多個數的平方相加。通常是一些正整數的平方之和，整數的個數可以是有限個，也可以是無限多。
證法五 （拆分，直接推導法）：
1=12²=1+3
3²=1+3+5
4²=1+3+5+7
(n-1)²=1+3+5+7+...+[2(n-1)-1]
n²=1+3+5+7+...+[2n-1]
求和得：
因為前n項平方和與前n-1項平方和差為n²
分解步驟如下：
(a+b)3=(a+b)(a+b)(a+b) = (a2+2ab+b2)(a+b)=a3+3a2b + 3ab2+ b3
解題時常用它的變形：
(a+b)3= a3+ b3+ 3ab(a+b) 和 a3+ b3= (a+b)3- 3ab(a+b)
(a-b)³=(a-b)(a-b)(a-b)=(a²-2ab+b²)(a-b)=a³-3a²b+3ab²-b³
立方和累加：
注：可用數學歸納法證明
4樓：匿名使用者
an = n^2
= n(n+1) -n
=(1/3)[ n(n+1)(n+2) -(n-1)n(n+1) ] -(1/2) [ n(n+1) -(n-1)n]
sn =a1+a2+...+an
=(1/3)n(n+1)(n+2) -(1/2)n(n+1)=(1/6)n(n+1)( 2(n+2) -3)=(1/6)n(n+1)(2n+1)
--------
bn=n^3
=(n-1)n(n+1) +n
=(1/4)[ (n-1)n(n+1)(n+2) - (n-2)(n-1)n(n+1)] + (1/2)[ n(n+1) -(n-1)n]
tn =b1+b2+...+bn
=(1/4)(n-1)n(n+1)(n+2) + (1/2)n(n+1)
=(1/4)n(n+1).[ (n-1)(n+2) +2 ]=(1/4)n(n+1).( n^2 +n)=(1/4)[n(n+1)]^2
1到n的平方和，立方和公式是怎麼推導的？
5樓：匿名使用者
1、1到n的平方和推導：1²+2²+3²+。。。+n²=n（n+1)（2n+1）/6
由1²+2²+3²+。。。+n²=n（n+1)（2n+1）/6
∵（a+1）³-a³=3a²+3a+1（即（a+1)³=a³+3a²+3a+1）
a=1時：2³-1³=3×1²+3×1+1
a=2時：3³-2³=3×2²+3×2+1
a=3時：4³-3³=3×3²+3×3+1
a=4時：5³-4³=3×4²+3×4+1
......
a=n時：（n+1）³-n³=3×n²+3×n+1
等式兩邊相加：
（n+1)³-1=3（1²+2²+3²+。。。+n²）+3（1+2+3+。。。+n）+（1+1+1+。。。+1）
3（1²+2²+3²+。。。+n²）=（n+1）³-1-3（1+2+3+。。。+n）-（1+1+1+。。。+1）
3（1²+2²+3²+。。。+n²）=（n+1）³-1-3（1+n）×n÷2-n
6（1²+2²+3²+。。。+n²）=2（n+1)³-3n（1+n)-2(n+1)
=(n+1)[2(n+1)²-3n-2]
=(n+1)[2(n+1)-1][(n+1)-1]
=n(n+1)(2n+1)
∴1²+2²+。。。+n²=n（n+1)（2n+1）/6
2、1到n的立方和推導:1^3+2^3+3^3+...+n^3=[n(n+1)/2]^2
推導： (n+1)^4-n^4=4n^3+6n^2+4n+1，
n^4-(n-1)^4=4(n-1)^3+6(n-1)^2+4(n-1)+1，
......
2^4-1^4=4*1^3+6*1^2+4*1+1,
把這n個等式兩端分別相加,得：
(n+1)^4-1=4(1^3+2^3+3^3...+n^3)+6(1^2+2^2+...+n^2)+4(1+2+3+...+n)+n
由於1+2+3+...+n=(n+1)n/2,
1^2+2^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6，
1^3+2^3+3^3+...+n^3=[n(n+1)/2]^2
6樓：校椹風雲
平方和sn= n(n+1)(2n+1)/6，
推導：(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1,
n^3-(n-1)^3=3(n-1)^2+3(n-1)+1,
.......
2^3-1^3=3*(1^2)+3*1+1,
把這n個等式兩端分別相加,得：
(n+1)^3 -1=3(1^2+2^2+3^2+.+n^2)+3(1+2+3+...+n)+n,
由於1+2+3+...+n=(n+1)n/2,
代人上式整理後得：
1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 。
立方和sn =[n(n+1)/2]^2，
推導： (n+1)^4-n^4=4n^3+6n^2+4n+1，
n^4-(n-1)^4=4(n-1)^3+6(n-1)^2+4(n-1)+1，
......
2^4-1^4=4*1^3+6*1^2+4*1+1,
把這n個等式兩端分別相加,得：
(n+1)^4-1=4(1^3+2^3+3^3...+n^3)+6(1^2+2^2+...+n^2)+4(1+2+3+...+n)+n
由於1+2+3+...+n=(n+1)n/2,
1^2+2^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6，
代人上式整理後得：
1^3+2^3+3^3+...+n^3=[n(n+1)/2]^2
7樓：易方達
1^3+2^3+……+n^3=（1+2+…+n）^2，
1^2+……+n^2=n（n+1）（2n+1）/6。
正整數1到n的平方和，立方和公式是怎麼推的？
8樓：aii豬豬俠
平方和sn= n(n+1)(2n+1)/6，
推導：(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1,
n^3-(n-1)^3=3(n-1)^2+3(n-1)+1,
2^3-1^3=3*(1^2)+3*1+1,
把這n個等式兩端分別相加,得：
(n+1)^3 -1=3(1^2+2^2+3^2+.+n^2)+3(1+2+3+...+n)+n,
由於1+2+3+...+n=(n+1)n/2,
1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 。
立方和sn =[n(n+1)/2]^2，
推導： (n+1)^4-n^4=4n^3+6n^2+4n+1，
n^4-(n-1)^4=4(n-1)^3+6(n-1)^2+4(n-1)+1，
2^4-1^4=4*1^3+6*1^2+4*1+1,
把這n個等式兩端分別相加,得：
(n+1)^4-1=4(1^3+2^3+3^3...+n^3)+6(1^2+2^2+...+n^2)+4(1+2+3+...+n)+n
由於1+2+3+...+n=(n+1)n/2,
1^2+2^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6，
1^3+2^3+3^3+...+n^3=[n(n+1)/2]^2
1到n的次方和公式，1到N的平方和，立方和公式是怎麼推導的？
新南一竹 求1 5 2 5 3 5 n 5。首先寫出和式的前6項 即1 5 1 2 5 32 3 5 243 4 5 1024 5 5 3125 6 5 7776 再求出相鄰兩數之差，得 31 211 781 2101 4651 再次求出相鄰兩數之差，得 180 570 1320 2550 再次求，...
1到N的平方和，立方和公式是怎麼推導的
1 1到n的平方和推導 1 2 3 n n n 1 2n 1 6 由1 2 3 n n n 1 2n 1 6 a 1 a 3a 3a 1 即 a 1 a 3a 3a 1 a 1時 2 1 3 1 3 1 1 a 2時 3 2 3 2 3 2 1 a 3時 4 3 3 3 3 3 1 a 4時 5 4...
請問平方差平方和立方差立方和的公式是什麼
平方差 a 2 b 2 a b a b 平方和 1方 2方 3方 n方 n n 1 2n 1 6立方差 a 3 b 3 a b a 2 ab b 2 立方和 a 3 b 3 a b a 2 ab b 2 立方差公式也是數學中常用公式之一，在高中數學中接觸該公式，且在數學研究中該式占有很重要的地位，甚...