1樓：匿名使用者
平方和公式n(n+1)(2n+1)/6
即1^2+2^2+3^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 (注：n^2=n的平方)
證明1＋4＋9＋…＋n^2＝n(n+1)(2n+1)/6
證法一（歸納猜想法）：
1、n＝1時，1＝1（1＋1）（2×1＋1）/6＝1
2、n＝2時，1＋4＝2（2＋1）（2×2＋1）/6＝5
3、設n＝x時，公式成立，即1＋4＋9＋…＋x2＝x(x+1)(2x+1)/6
則當n＝x＋1時，1＋4＋9＋…＋x2＋（x＋1）2＝x(x+1)(2x+1)/6＋（x＋1）2
＝（x＋1）[2（x2）＋x＋6（x＋1）]/6
＝（x＋1）[2（x2）＋7x＋6]/6
＝（x＋1）（2x＋3）（x＋2）/6
＝（x＋1）[（x＋1）＋1][2（x＋1）+1]/6
也滿足公式。
4、綜上所述，平方和公式1^2+2^2+3^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6成立，得證。
證法二（利用恒等式(n+1)^3=n^3+3n^2+3n+1）：
(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1,n^3-(n-1)^3=3(n-1)^2+3(n-1)+1
把這n個等式兩端分別相加，得：
(n+1)^3-1=3(1^2+2^2+3^2+..n^2)+3(1+2+3+..n)+n,由於1+2+3+..n=(n+1)n/2,代人上式得：
n^3+3n^2+3n=3(1^2+2^2+3^2+..n^2)+3(n+1)n/2+n
連續n個自然數的平方的和等於多少
2樓：
s = 1^2 + 2^2 + 3^2 + n^2 = n(n+1)(2n+1)/6
上面是乙個基本公式，樓主可以利用這個公式的變換來得到你想要的連續 n 個自然數的平方和公式。
連續n個自然數的平方的和等於多少
3樓：孤島危機先知
利用立方差公式。
n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)]
=n^2+(n-1)^2+n^2-n
=2*n^2+(n-1)^2-n
.n^3-(n-1)^3=2*n^2+(n-1)^2-n
各等式全相加。
n^3-1^3=2*(2^2+3^2+..n^2)+[1^2+2^2+..n-1)^2]-(2+3+4+..n)
n^3-1=2*(1^2+2^2+3^2+..n^2)-2+[1^2+2^2+..n-1)^2+n^2]-n^2-(2+3+4+..n)
n^3-1=3*(1^2+2^2+3^2+..n^2)-2-n^2-(1+2+3+..n)+1
n^3-1=3(1^2+2^2+..n^2)-1-n^2-n(n+1)/2
3(1^2+2^2+..n^2)=n^3+n^2+n(n+1)/2=(n/2)(2n^2+2n+n+1)
=(n/2)(n+1)(2n+1)
1^2+2^2+3^2+..n^2=n(n+1)(2n+1)/6
4樓：匿名使用者
尚緩兵之計瘸箍匡算尉。
連續n個自然數的平方的和等於多少
5樓：慕野清流
平方和公式n(n+1)(2n+1)/6
即1^2+2^2+3^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 (注：n^2=n的平方)
證明1＋4＋9＋…＋n^2＝n(n+1)(2n+1)/6
證法一（歸納猜想法）：
1、n＝1時，1＝1（1＋1）（2×1＋1）/6＝1
2、n＝2時，1＋4＝2（2＋1）（2×2＋1）/6＝5
3、設n＝x時，公式成立，即1＋4＋9＋…＋x2＝x(x+1)(2x+1)/6
則當n＝x＋1時，1＋4＋9＋…＋x2＋（x＋1）2＝x(x+1)(2x+1)/6＋（x＋1）2
＝（x＋1）[2（x2）＋x＋6（x＋1）]/6
＝（x＋1）[2（x2）＋7x＋6]/6
＝（x＋1）（2x＋3）（x＋2）/6
＝（x＋1）[（x＋1）＋1][2（x＋1）+1]/6
也滿足公式。
4、綜上所述，平方和公式1^2+2^2+3^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6成立，得證。
證法二（利用恒等式(n+1)^3=n^3+3n^2+3n+1）：
(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1,n^3-(n-1)^3=3(n-1)^2+3(n-1)+1
把這n個等式兩端分別相加，得：
(n+1)^3-1=3(1^2+2^2+3^2+..n^2)+3(1+2+3+..n)+n,由於1+2+3+..n=(n+1)n/2,代人上式得：
n^3+3n^2+3n=3(1^2+2^2+3^2+..n^2)+3(n+1)n/2+n
公式:前n個連續自然數的平方和等於什麼？
6樓：丘冷萱
(n+1)³-n³=3n²+3n+1
n³-(n-1)³=3(n-1)²+3(n-1)+1(n-1)³-n-2)³=3(n-2)²+3(n-2)+1...
將以上各式全部相加，左邊只剩兩項，其餘全消，得：
(n+1)³-1=3(1²+2²+.n²)+3(1+2+..n)+n
即：(n+1)³-1=3(1²+2²+.n²)+3n(n+1)/2+n
從中解出 1²+2²+.n²=n(n+1)(2n+1)/6
如何計算連續自然數的平方和公式
7樓：校椹風雲
1的平方+2的平方+ +n 的平方=1/6n(n+1)(2n+1)
用含n的代數式表示連續n個數的平方和
8樓：感逝者之不追
（1）1²+2²+…n² =n(n+1)(2n+1)/6.
可以用數學歸納法證明：
n=1時，1² =1* (1+1) (2+1)/6 成立。
如果以上表示式對n=k時成立，那麼1²+2²+…k²= k(k+1)(2k+1)/6. 只要再證明n=k+1時等式（1）成立即可。
n=k+1,1²+2²+…n²
= 1²+2²+…k²+(k+1)²
= k(k+1)(2k+1)/6 + k+1)^2= (k+1)/6 * k(2k+1)+6(k+1)]=k+1)/6 * 2k² +7k + 6)= k+1)/6 * k+2)(2k+3)= k+1)/6 * k+1)+1][2(k+1)+1]= n(n+1)(2n+1)/6.
證明完畢。
如果存在n個連續自然數的平方和為質數，則n的所有取值的平方和等於
9樓：匿名使用者
n=1,1^2=1不是質數，其他數的平方是合數，因此n不為，1^2+2^2=5是質數。n=3,2^2+3^2+4^2=29是質數。
故平方和為13
10樓：西域牛仔王
設 s(n)=1^2+2^2+..n^2=1/6*n(n+1)*(2n+1)，若 n=6k （k 為正整數），則 s(6k)=k(6k+1)(12k+1) 為合數；
若 n=6k+1（k 為正整數），則 s(6k+1)=(6k+1)(3k+1)(4k+1) 為合數；
若 n=6k+2 （k 為正整數），則 s(6k+2)=(3k+1)(2k+1)(12k+5)為合數；
若 n=6k+3（k 為正整數），則 s(6k+3)=(2k+1)(3k+2)(12k+7)為合數；
若 n=6k+4（k為正整數），則 s(6k+4)=(3k+2)(6k+5)(4k+3)為合數；
若 n=6k+5（k為正整數），則 s(6k+5)=(6k+5)(k+1)(12k+11)為合數，所以，若 s(n)為質數，則 n<=5 。
由於 s(1)=1，s(2)=5，s(3)=14，s(4)=30，s(5)=55，所以，n 的所有取值為 1 和 2 ，那麼，它們的平方和為 1^2+2^2=5 。
將2012表示為n個連續自然數的和,有多少種方法
11樓：匿名使用者
一種。n個連續自然數的和即從x加到x+n-1。
和 = x +x+n-1)*n/2 = 2x+n-1)*n/2 = 2012
則(2x+n-1)*n = 4024
顯然2x-1≥1，2x+n-1≥n。且2x + n - 1與n奇偶性相異。
顯然有且僅有一種可能。
n = 82x + n - 1 = 503
解得x = 248
即248開頭的8個連續自然數：
12樓：冬思暖
貌似，大概，或許有兩種吧！！！
咱也只是個學生哈！不太懂哦！答案只供參考！！！
將2012表示為n個連續自然數的和,有多少種方法
一種。n個連續自然數的和即從x加到x n 1。和 x x n 1 n 2 2x n 1 n 2 2012 則 2x n 1 n 4024 顯然2x 1 1，2x n 1 n。且2x n 1與n奇偶性相異。顯然有且僅有一種可能。n 82x n 1 503 解得x 248 即248開頭的8個連續自然數 ...
把2019表示為兩個以上的連續自然數的和,有多少種不同的表示方法
傷 斬 此題的本質是求2010的約數 奇數 的個數，且必須有一個約數是奇數2010有3個奇約數，3,5,15 2010 3 670 669 670 6712010 5 402 400 401 402 403 404 2010 15 134 127 1413種。 假設可表示為連續n項之和，設第一項為x...
把2019表示為若干個連續自然數的和，有（）種不同的表示方法
林進鋒 假設是n個自然數相加 n大於等於3 n n 1為奇數 2002為偶數 所以大於等於3 第一個數是x 所以 x 0 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 x n 1 x x n 1 n 2 2x n 1 n 2 2002 2x n 1 n 4004 2x n ...