1樓：網友
1/(x-1)-1/(x+2)=[x+2)-(x-1)]/x-1)(x+2)=3/(x-1)(x+2)
注意到分子是3
所以為了使等式兩邊相等。
必須要乘1個（1/3）
使等式兩邊相等。
因此=1/3{(1/(x-1)-1/(x+2))dx
然後因為1/(x-1)的積分是ln(x-1),1/(x+2)的積分是ln(x+2)
因為真數必須大於0，所以要加絕對值符號。
=(1/3)*ln|x-1|-(1/3)*ln|x+2|+c
根據對數公式lnx-lny=ln(x/y)
得到(1/3)*ln|(x-1)/(x+2)|+c
｛dx/x(x^2+1)＝｛1＋x^2-x^2)/x(x^2+1)dx
式子上面加1個x^2,再減乙個x^2,主要是為了化簡。
=[(1-x^2)+x^2]/x(x^2+1)dx
注意到分母是x和x^2+1
因此拆分過後肯定是a/x-b/(x^2+1)的形式。
1/x-x/(x^2+1)
=[(x^2+1)-x^2]/x(x^2+1)
可以看到，剛好是加1個x^2,再減乙個x^2,而x^2都消掉了。
所以｛dx/x(x^2+1)＝｛1＋x^2-x^2/x(x^2+1)dx
={(1/x-x/x^2+1)dx
(x^4-1+1/x^2+1)
=(x^4-1)/(x^2+1)-1/(x^2+1)
注意到x^4-1=(x^2+1)(x^2-1),所以可以進行分解。
=(x^2+1)(x^2-1)/(x^2+1)-1/(x^2+1)
=(x^2-1)-1/(x^2+1)
｛[（x^3-27)/(x-3)]*dx
根據立方差公式(a^3-b^3)=(a-b)(a^2+ab+b^2)
(x^3-27)=(x-3)*(x^2+3x+9)
所以｛[（x^3-27)/(x-3)]*dx
={（x-3）(x^2+3x+9)/(x-3)dx
上下消掉。={x^2+3x+9 dx
=x^3/3+3x^2/2+9x+c
2樓：三葉草
（1） ｛1/（x^2+x-2）*dx={1/(x-1)(x+2)*dx
而1/[(x-1)(x+2)]=1/3 [1/(x-1)-1/(x+2)] 這個是拆項，你通分看看就知道了．
那麼｛1/（x^2+x-2）*dx={1/(x-1)(x+2)*dx=1/3 {[1/(x-1)-1/(x+2)] dx
=1/3[{1/(x-1)d(x-1)-{1/(x+2)d(x+2)]
=1/3[ln|x-1|-ln|x+2|]+c
=1/3ln｜(x-1)/(x+2)｜+c
（2） ｛dx/x(x^2+1)
＝｛[1＋x^2-x^2]/[x(x^2+1)dx]
=｛[x^2-1)+1/x^2+1]*dx
這兒用的也是拆項，同上題一樣。分母可拆成兩個一次因式的積，以這兩個一次因式做分母，構造成兩項的和差形式。
1/[x(x^2+1)]
=a/x+(bx+c)/(x^2+1)
=(ax^2+a+bx^2+cx)/[x(x^2+1)]
由待定係數法知(對應項係數相等):(a+b)=0,c=0,a=1 所以b=-1
那麼：1/[x(x^2+1)]=a/x+(bx+c)/(x^2+1)=1/x - x/(x^2+1)
(3)｛(x^4/x^2+1)*dx
=(x^4-1+1)/(x^2+1)
=(x^4-1)/(x^2+1)+1/(x^2+1)
=[(x^2+1)(x^2-1)]/x^2+1)+1/(x^2+1)
=[(x^2-1)+1]/(x^2+1)
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