1樓：我少不了
解：水波的半徑以v=1m/s 的速度向外擴 張 水波面積s=πr²=π（vt）²=2500πt² 所 以求導，水波面積的膨脹率s'=5000πt 當 半徑為250m時 t=250m/（50m/s）=5s 所以s'=5000π*5=25000π 即半徑為250m 時，這水波面積的膨脹率是25000π
2樓：匿名使用者
【同步教育資訊】
一. 本週教學內容：
導數的概念
二. 教學目的：
1. 理解導數的概念，學會求函式在一點處的導數的方法.
2. 掌握導數的幾何意義。理解導數與瞬時變化率的關係。
教學重點：
導數的定義與求導數的方法.
教學難點：
導數概念的理解，通過曲線切線的斜率與瞬時速度引出導數的概念，
三. 內容梳理：
1. 曲線的切線
如圖，設曲線c是函式 的圖象，點 是曲線 c 上一點。作割線pq，當點q 沿著曲線c無限地趨近於點p，割線pq無限地趨近於某一極限位置pt 我們就把極限位置上的直線pt，叫做曲線c在點p 處的切線。
2.確定曲線c在點 處的切線斜率的方法：
因為曲線c是給定的，根據解析幾何中直線的點斜式方程的知識，只要求出切線的斜率就夠了。設割線pq的傾斜角為 ，切線pt的傾斜角為 ，既然割線pq的極限位置上的直線pt是切線，所以割線pq 斜率的極限就是切線pq的斜率tan ，即
時， ＝ ＝tan
3. 瞬時速度定義：運動物體經過某一時刻（某一位置）的速度，叫做瞬時速度.
4. 確定物體在某一點a處的瞬時速度的方法：
從t0到t0+δt，這段時間是δt. 時間δt足夠短，就是δt無限趨近於0. 當δt→0時，平均速度就越接近於瞬時速度。
瞬時速度 。
5. 導數的定義：設函式 在 處附近有定義，當自變數在 處有增量 時，則函式 相應地有增量 ，如果 時， 與 的比 （也叫函式的平均變化率）有極限，即 無限趨近於某個常數，我們把這個極限值叫做函式 在 處的導數，記作 ，即
注意：（1）函式應在點 的附近有定義，否則導數不存在。
（2）在導數的定義式中， 趨近於0可正、可負、但不為0，而 可能為0。
（3） 是函式 對自變數 在 範圍內的平均變化率，它的幾何意義是過曲線 上點（ ）及點 ）的割線斜率。
（4）導數 是函式 在點 處的瞬時變化率，它反映函式 在點 處變化的快慢程度。
6. 導數的幾何意義：
是曲線 上點（ ）處的切線的斜率 因此，如果 在點 可導，則曲線 在點（ ）處的切線方程為 。
說明：（1）導數是一個區域性概念，它只與函式 在 及其附近的函式值有關，與 無關。
（2）在定義式中，設 ，則 ，當 趨近於0時， 趨近於 ，因此，導數的定義式可寫成
當△x→0時， 。
（3）若極限 不存在，則稱函式 在點 處不可導。
（4）若 在 可導，則曲線 在點（ ）有切線存在。反之不然，若曲線 在點（ ）有切線，函式 在 不一定可導，並且，若函式 在 不可導，曲線在點（ ）也可能有切線。
7. 導函式（導數）:如果函式 在開區間 內的每點處都有導數，此時對於每一個 ，都對應著一個確定的導數 ，從而構成了一個新的函式 ， 稱這個函式 為函式 在開區間內的導函式，簡稱導數，也可記作 ，即 ＝ ＝
函式 在 處的導數 就是函式 在開區間 上導數 在 處的函式值，即 ＝ 所以函式 在 處的導數也記作 。
注意：（1）導數與導函式都稱為導數，這要加以區分：求一個函式的導數，就是求導函式；求一個函式在給定點的導數，就是求導函式值。
它們之間的關係是函式 在點 處的導數就是導函式 在點 的函式值。
（2）可導：如果函式 在開區間 內每一點都有導數，則稱函式 在開區間 內可導
8. 求函式 的導數的一般方法：
（1）求函式的改變數 。
（2）求平均變化率 。
（3）逼近，得導數 。
【典型例題】
例1. 求y＝x2在點x＝1處的導數.
解：δy＝（1+δx）2－12＝2δx+（δx）2， ＝2+δx
∴當 時， ＝ （2+δx） 2. ∴y′|x＝1＝2.
注意：（δx）2括號別忘了寫.
例2. 已知y＝ ，求y′.
分析：求函式在一點的導數，與求函式在一個區間上的導數，方法是一樣的，也是三個步驟，只是把x0換成x.
解：δy＝ ， ∴ .
點評：求函式的導數也主要是求極限的值，所以極限是求函式的導數的基礎，求極限的一些基本方法不能忘掉.
變式：已知y＝x3－2x+1，求y′，y′|x＝2.
解：δy＝（x+δx）3－2（x+δx）+1－（x3－2x+1）
＝x3+3x2δx+3x（δx）2+（δx）3－2x－2δx+1－x3+2x－1
＝（δx）3+3x（δx）2+（3x2－2）δx
＝（δx）2+3xδx+3x2－2
∴ ＝〔（δx）2+3xδx+3x2－2〕， y′＝3x2－2.
方法一：∵y′＝3x2－2，∴y′|x＝2＝3×22－2＝10.
方法二：δy＝（2+δx）3－2（2+δx）+1－（23－2·2+1）
＝（δx）3+6（δx）2+10δx
＝（δx）2+6δx+10
＝〔（δx）2+6δx+10〕當 時，得y′|x＝2＝10.
點評：如果題目中要求y′，那麼求y′|x＝2時用方法一簡便。
如果只要求y′|x＝2，用方法二比較簡便。
例3. （1）求曲線y＝x2在點（1，1）處的切線。
（2）求曲線y＝x2過點（1，0）處的切線。
解：（1）由上知y′|x＝1＝2.，切線方程為y－1＝2（x－1），即2x－y－1＝0.
（2）由上知在切點（x0，x02）處的導數為 ＝2x0，
切線方程為y－ ＝2x0（x－x0），又過點（1，0），
∴ ， ，k＝0或k＝4
當k＝0時，
當k＝4時，
∴切線方程為y＝0或
例4. 已知曲線c：y＝x3－3x2+2x，直線l:y＝kx，且l與c切於點（x0，y0）（x0≠0），求直線l的方程及切點座標
解：由l過原點，知k＝ （x0≠0），點（x0，y0）在曲線c上，y0＝x03－3x02+2x0，
∴ ＝x02－3x0+2
y′＝3x2－6x+2，k＝3x02－6x0+2
又k＝ ，∴3x02－6x0+2＝x02－3x0+2
2x02－3x0＝0，∴x0＝0或x0＝
由x≠0，知x0＝
∴y0＝（ ）3－3（ ）2+2· ＝－
∴k＝ ＝－
∴l方程y＝－ x，切點（ ，－ ）
例5. 水波的半徑以50cm/s的速度向外擴張，求當半徑為250cm時，水波面的圓面積的膨脹率是多少？
解：△s=
從而，當半徑為250cm時，圓面積的膨脹率為2π×250×50＝25000π（cm2/s）
變式：一汽球的半徑以2cm/s的速度膨脹，
（1）半徑為5cm時，表面積對於時間的變化率是多少？
（2）半徑為8cm時，體積對於時間的變化率是多少?
（1）解：
從而，當半徑為5cm時，球面積的膨脹率為8π×5×2＝80π（cm2/s）
（2）解：
從而，當半徑為8cm時，球面積的膨脹率為 ×3×64×2＝512π（cm3/s）
【模擬試題】（滿分100分，時間60分鐘）�
一、選擇題（每題5分共30分）
1、物體做直線運動的方程為 ，則 表示的意義是 （ ）
a. 經過4s後物體向前走了10m b. 物體在前4s內的平均速度為10m/s
c. 物體在第4s內向前走了10m d. 物體在第4s時的瞬時速度為10m/s
2. 在曲線y＝2x2－1的圖象上取一點（1，1）及鄰近一點（1+δx，1+δy），則 等於（ ）
a. 4δx+2δx2 b. 4+2δx c. 4δx+δx2 d. 4+δx
3. 若曲線y＝f（x）在點（x0，f（x0））處的切線方程為2x+y－1＝0，則（ ）
a. f′（x0）>0 b. f′（x0）<0
c. f′（x0）＝0 d. f′（x0）不存在
4. 已知命題p:函式y＝f（x）的導函式是常數函式；命題q:函式y＝f（x）是一次函式，則命題p是命題q的 （ ）
a. 充分不必要條件 b. 必要不充分條件
c. 充要條件 d. 既不充分也不必要條件
5. 設函式f(x)在x0處可導，則 時， （ ）
a. f'(x0) b. 0 c.2 f'(x0) d. －2 f'(x0)
6. 設f（x）＝x（1+|x|），則f′（0）等於（ ）
a. 0 b. 1 c. －1 d. 不存在
二、填空題（每題5分共25分）
7. 若曲線上每一點處的切線都平行於x軸，則此曲線的函式必是___.
8. 曲線y＝x3在點p（2，8）處的切線方程是___________.
9. 曲線f（x）＝x2+3x在點a（2，10）處的切線斜率k＝___________.
10. 兩曲線y＝x2+1與y＝3－x2在交點處的兩切線的夾角的正切為___________.
11. 設f（x）在點x處可導，a、b為常數，則 時， ＝_____.
三、解答題
12. （本題滿分15分）
已知函式f（x）＝ ，試確定a、b的值，使f（x）在x＝0處可導.
13. （本題滿分15分）
某介質中一小球下落ts時的位移（m）為h＝1.5－0.1t2，求t＝3s時小球下落的位移、速度、加速度。
14. （本題滿分15分）
利用導數的定義求函式y＝|x|（x≠0）的導數.
【試題答案】
1. d 2. b 3. b 4. b 5. c
6. b 7. 常數函式 8. y＝12x－16 9. 7
10. 11.（a+b）f'（x）
12. 解： －時 ＝ ＝ （δx+1）無限趨近於1。
……3′
＝ ，……6′
若b≠1，則 時 不存在……10′
∴b＝1且a＝1時，才有f（x）在x＝0處可導……13′
∴a＝1，b＝1. ……15′
13. 解：t＝3時，h＝1.5－0.1×9＝0.6m……………………3'
14. 解：∵y＝|x|，∴x>0時，y＝x，……3′
則 ……6′
當x<0時，y＝－x，……8
，……10′
∴y′＝ ……15′
【勵志故事】
毛毛蟲過河
有一道腦筋急轉彎題：一條毛毛蟲要到河對岸去，可是沒有橋，沒有船，毛毛蟲怎樣過去呢？答案出人意料，卻又在情理之中：
毛毛蟲變成了蝴蝶，它飛過河去了。做毛毛蟲時幾乎是絕不可想象的事，變成了蝴蝶，輕而易舉地就可以辦到了。
有沒有一些困難在你面前，讓你以為自己是絕對無法克服的？少一些怨天尤人，少一些悲觀失望，耐心地等待時機，想辦法充實自己提高自己。困難就好比毛毛蟲面前的那條河，當自己從毛毛蟲變成蝴蝶時，就可以輕鬆逾越了。
如圖,在直角座標系中,以P 2,1 為圓心,R為半徑畫圓
郭敦顒 郭敦顒回答 圓的方程是 x 2 y 1 r 把c 0，b 與點a m，0 代入圓的方程得，0 2 b 1 r b 2 b 5 r 1 m 2 0 1 r m 4m 5 r 2 r pc pa，r 2 0 1 b 2 m 1 0 r b 2 b 5 m 4m 5 2 2 8，與前等價 b 2 ...
球半徑以0 2 CM S的速率增加 那麼當球半徑R
高等數學的做法。dv dr d 4 3 r 3 dr 4 r 2drdv dt dv dr dr dt 4 r 2 dr dt 4 20 2 0.2 320 cm 3 s初等數學，可以計算一個極薄的球殼的體積。v s r v t s r t 4 r 2 0.2 320 cm 3 s r 20 0.2...
如圖5所示，A B兩輪半徑之比為1 3，兩輪邊緣擠壓在一起，在兩輪轉動中，接觸點不存在打滑的現象
兩輪邊緣的線速度大小之比等於 1 1解釋 接觸點不存在打滑的現象，也就是兩輪同樣時間走同樣距離，於是線速度相等 兩輪的轉數之比等於 3 1，解析 根據v wr,可以求出，即 wa wb va ra vb rb 1 ra 1 rb rb ra 3 1 a輪半徑中點與b輪邊緣的角速度大小之比等於3 1解...