函式極限是什麼概念，如何理解函式極限的定義？

1樓：匿名使用者

極限知識深入研究(2)

例2 用定義證明

規範證法設 ,對於任意給定的ε>0，要使 ,只要就可以了．因此，對於任意給定的ε>0，取 ,則當|x|>m時，

有時，我們還需要區分x趨於無窮大的符號．如果x從某一時刻起，往後總是取正值而且無限增大．則稱x趨於正無窮大，記作x→+∞，此時定義中，|x|>m可改寫為x>m，如果x從某一時刻起，往後總取負值且|x|無限增大，則稱x趨於負無窮大，記作x→-∞，此時定義中的|x|>m可改寫成x<-m．

函式極限可以用如下方法定義：

設f(x)在實數x0的一個去心鄰域u(x0, δ0)上(就是區間(x0 - δ0, x0 + δ0)去掉x0點這個集合之上)有定義, 如果對任意小的正數ε, 都存在一個正數δ, 和一個實數a, 使得當

|x - x0| < δ

時, 下式成立:

|f(x) - a| < ε

就說函式f(x)在x0點的極限是a, 記作f(x) -> a

(x -> x0)

2樓：雲深樂芳華

對定義沒搞明白，自變數趨向於無窮大時函式的極限書上給的定義是：

設函式f(x)在|x|>m時有定義，若對於任意給定的正數e(無論e多麼小)，總存在正整數x(x>=m)，使得適合不等式|x|>x的所有x，對應的函式值f(x)都滿足|f(x)-a|

我的問題是：若給定的是y=sinx

也能找到|sinx-0|<1.1

那sinx的極限就成0了嗎

sinx不是沒有極限的嘛

希望樓主採納，謝謝

如何理解函式極限的定義？

3樓：匿名使用者

設函式f(x)在點x0的某一去心鄰域內有定義，如果存在常數a，對於任意給定的正數

擴充套件資料函式極限的四則運演算法則

設f(x)和g(x)在自變數的同一變化過程中極限存在，則它們的和、差、積、商(作為分母的函式及其極限值不等於0)的極限也存在，並且極限值等於極限的和、差、積、商。非零常數乘以函式不改變函式極限的存在性。

相關定理：夾逼定理

設l(x)、f(x)、r(x)在自變數變化過程中的某去心鄰域或某無窮鄰域內滿足l(x)≤f(x)≤r(x)，且l(x)、r(x)在自變數的該變化過程中極限存在且相等，則f(x)在該自變數的變化過程中極限也存在並且相等。

4樓：元氣小小肉丸

數學中的“極限”指：某一個函式中的某一個變數，此變數在變大（或者變小）

的永遠變化的過程中，逐漸向某一個確定的數值a不斷地逼近而“永遠不能夠重合到a”的過程中，此變數的變化，被人為規定為“永遠靠近而不停止”、其有一個“不斷地極為靠近a點的趨勢”。

廣義的“極限”是指“無限靠近而永遠不能到達”的意思。

擴充套件資料

解決問題的極限思想：

“極限思想”方法，是數學分析乃至全部高等數學必不可少的一種重要方法，也是‘數學分析’與在‘初等數學’的基礎上有承前啟後連貫性的、進一步的思維的發展。

數學分析之所以能解決許多初等數學無法解決的問題（例如求瞬時速度、曲線弧長、曲邊形面積、曲面體的體積等問題），正是由於其採用了‘極限’的‘無限逼近’的思想方法，才能夠得到無比精確的計算答案。

人們通過考察某些函式的一連串數不清的越來越精密的近似值的趨向，趨勢，可以科學地把那個量的極準確值確定下來，這需要運用極限的概念和以上的極限思想方法。用極限的思想方法是有科學性的，因為可以通過極限的函式計算方法得到極為準確的結論。

5樓：匿名使用者

你給出的是自變數趨於正無窮大時的函式極限概念，這個概念要與自變數趨於一點時函式極限的定義進行區分，不過其實本質沒有什麼不同。極限表現的是一種變化過程中的無限接近的性質，直觀上理解就是函式值和極限值“任意小”的差別都可以在自變數“足夠大”時實現。一個量是要求可以任意的小，另一個量是隻要存在一個就可以了。

6樓：宮帥王耘志

在數學分析中，極限的證明往往是用ε-δ語言來證的，而這種證明方式，也是分析數學的最精髓的地方。在下愚鈍，在大學畢業之後才慢慢領會這種證明方式的奧妙。ε-δ語言的主要表現方式是，對於函式f(x)在x0的鄰域內，對於任意正數ε,δ，有|x-x0|<δ，且|f(x)-a|<ε，則稱當x趨近x0時，f(x)趨近於a。

這個定義的最大特點是，f(x)在x0處可以沒有定義，但當x無限接近x0時，f(x)無限接近某一個數a。而ε-δ語言最難理解的，無非就是ε，δ這兩個任意正數，在證明的過程中，也經常會看到很多習題中會用2ε，ε/2等（注：吉米多維奇是一套不錯的習題，對於數學分析入門很有幫助，但若已入門，個人覺得，吉米多維奇更適合理科非數學專業做數1用）。

其實我個人感覺，這裡的ε，δ就是無窮小，或理解為無限接近，這兩個無窮小僅僅是符號標示的不同，其本質都是一樣的。但無窮小不是0，最淺顯的例子就是f(x)=(x^2-4)/(x-2)，這裡x不能等於2，但當x無限接近2的時候，f(x)無限接近4。也就是說，點(x,f(x))只能無限接近(2,4)，但兩點不能重合，如何說明這個無窮小呢？

我就隨便找一個任意小的正數δ，使得x與2的距離總是比它小，再隨便找一個任意小的正數ε，使得f(x)與4的距離總比ε小。

至於2ε是不是無窮小，這個問題可以說是在牛頓和萊布尼茨創立微積分學說後，引發的第二次數學危機的一個問題，2ε是無窮小，那麼3ε，4ε，……十萬乘以ε還是不是無窮小呢？（見谷堆悖論）直到後來康託創立集合論，才解決了第二次的數學危機。如果樓主是讀數學系，等以後學實變函式的時候，包括勒貝格的測度論，就會對這裡領會得更為透徹。

（ps：康託是個非常了不起的數學家，儘管羅素悖論引發了第三次的數學危機，以及後世人如zf公理對康託集合論進行補充，但仍不掩康託的偉大。不得不說，康託到目前為止是不可超越的。)

請問極限的概念是什麼？

7樓：匿名使用者

極限的定義分為四個部分：

1、對任意的ε>0：ε在定義中的作用就是刻畫出在x→x0時，f(x)可以無限接近於常數a,也就是∣f(x)-a∣可以任意小。為了達到這一要求，所以ε必須可以足夠小。

（考試中經常在ε上做文章）

2、存在δ>0：δ就是這個鄰域的半徑，x→x0所能取到的所有點就是（x0-δ,x0）∪（x0,x0+δ），這裡x取不到x0.但是這個鄰域δ到底有多大、距離x0有多遠，我們不知道，也沒有必要知道，只要知道δ是很小的一個數就可以啦。

3、0<∣x-x0∣<δ：自變數x→x0時，再次強調一下，x取不到x0這個點，但是可以取到x0附近和兩側的所有點。這就涉及到鄰域的概念，鄰域通俗講就是以點x0為中心的附近和兩側所有點，是一個區域性概念。

4、∣f(x)-a∣<ε：既然ε可以足夠小，則f(x)可以無限接近於常數a，也就是f(x)→a,這裡需要注意一點，雖然自變數x不能取到x0這個點，但是因變數f(x)是可以取到a的。

特別注意：函式在一點的極限存不存在和函式在這個點有沒有定義沒有關係。

擴充套件資料

極限的性質：

1、唯一性：存在即唯一

關於唯一性，需要明確x趨向於無窮，意味著x趨向於正無窮並且x趨向於負無窮；同理，x→xo，意味著x趨向於xo正且趨向於x0負。

比如：x趨向於無窮的時候，e^x的極限就不存在，因為x趨向於正無窮的時候e^x是無窮，x趨向於負無窮的時候e^x是0，根據極限存在的唯一性，所以這個極限不存在。

2、區域性有界性：存在必有界

極限存在只是函式有界的充分條件，而非必要條件，即函式有界但函式極限不一定存在。

判別有界性的方法

（1）理論法：函式在閉區間上連續，則函式必有界。

（2）計演算法：函式在開區間上連續且左右極限都存在，則函式有界。

（3）四則運演算法：有限個有界函式的和、差、積必有界。

3、區域性保號性：保持不等號的方向不變

極限大於零則在x→x0中函式大於零，把極限符號可以直接去掉，俗稱“脫帽法”。函式非負，則在極限存在的條件下，極限非負。這個結論成立的前提條件一定不能忘，一定要驗證一下函式極限是否存在。

8樓：閃亮登場

極限在高等數學中，極限是一個重要的概念。

極限可分為數列極限和函式極限，分別定義如下。

首先介紹劉徽的"割圓術",設有一半徑為1的圓，在只知道直邊形的面積計算方法的情況下，要計算其面積。為此，他先作圓的內接正六邊形，其面積記為a1，再作內接正十二邊形，其面積記為a2，內接二十四邊形的面積記為a3，如此將邊數加倍，當n無限增大時，an無限接近於圓面積，他計算到3072=6*2的9次方邊形，利用不等式an+1n時，不等式

|xn - a|<ε

都成立，那麼就成常數a是數列|xn|的極限，或稱數列|xn|收斂於a。記為lim xn = a 或xn→a（n→∞）

數列極限的性質：

1.唯一性：若數列的極限存在，則極限值是唯一的；

2.改變數列的有限項，不改變數列的極限。

幾個常用數列的極限：

an=c 常數列極限為c

an=1/n 極限為0

an=x^n 絕對值x小於1 極限為0

函式極限的專業定義:

設函式f(x)在點x。的某一去心鄰域內有定義，如果存在常數a，對於任意給定的正數ε（無論它多麼小），總存在正數δ ，使得當x滿足不等式0<|x-x。|<δ 時，對應的函式值f(x)都滿足不等式：

|f(x)-a|<ε

那麼常數a就叫做函式f(x)當x→x。時的極限。

函式極限的通俗定義：

1、設函式y=f(x)在(a,+∞)內有定義，如果當x→+∽時，函式f(x)無限接近一個確定的常數a，則稱a為當x趨於+∞時函式f(x)的極限。記作lim f(x)＝a ，x→+∞。

2、設函式y=f(x)在點a左右近旁都有定義，當x無限趨近a時（記作x→a），函式值無限接近一個確定的常數a，則稱a為當x無限趨近a時函式f(x)的極限。記作lim f(x)=a ，x→a。

函式的左右極限：

1：如果當x從點x=x0的左側（即x〈x0）無限趨近於x0時，函式f(x)無限趨近於常數a,就說a是函式f(x)在點x0處的左極限，記作x→x0-limf(x)=a.

2:如果當x從點x=x0右側（即x>x0)無限趨近於點x0時，函式f(x)無限趨近於常數a,就說a是函式f(x)在點x0處的右極限，記作x→x0+limf(x)=a.

注：若一個函式在x（0）上的左右極限不同則此函式在x（0）上不存在極限

函式極限的性質：

極限的運演算法則（或稱有關公式）：

lim(f(x)+g(x))=limf(x)+limg(x)

lim(f(x)-g(x))=limf(x)-limg(x)

lim(f(x)*g(x))=limf(x)*limg(x)

lim(f(x)/g(x))=limf(x)/limg(x) ( limg(x)不等於0 )

lim(f(x))^n=(limf(x))^n

以上limf(x) limg(x)都存在時才成立

lim(1+1/x)^x =e

x→∞無窮大與無窮小：

一個數列（極限）無限趨近於0，它就是一個無窮小數列（極限）。

無窮大數列和無窮小數列成倒數。

兩個重要極限：

1、lim sin(x)／x ＝1 ，x→0

2、lim （1 + 1／x）^x ＝e ，x→∞ （e≈2.7182818...，無理數）

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