1樓：假面
求數列的極限，如果數列項數n趨於無窮時，數列的極限能一直趨近於實數a，那麼這個數列就是收斂的；如果找不到實數a，這個數列就是發散的。
看n趨向無窮大時，xn是否趨向一個常數，可是有時xn比較複雜，並不好觀察。
加減的時候，把高階的無窮小直接捨去如 1 + 1/n，用1來代替乘除的時候，用比較簡單的等價無窮小來代替原來複雜的無窮小來如 1/n * sin(1/n) 用1/n^2 來代替 。
設為一個無窮實數數列的集合。如果存在實數a，對於任意正數ε （不論其多麼小），都n>0，使不等式|xn-a|<ε在n∈(n,+∞)上恆成立，那麼就稱常數a是數列 的極限，或稱數列收斂於a。
2樓：查智敏
n趨於無窮大時，趨於某個確定的值就是收斂，否則就是發散的
你第二個問題問得太好了，夠寫半本書了
3樓：苦信鷗鎖俐
n趨於無窮大時，趨於某個確定的值就是收斂，否則就是發散的。
極限的求法有很多種：
1、連續初等函式，在定義域範圍內求極限，可以將該點直接代入得極限值，因為連續函式的極限值就等於在該點的函式值。
2、利用恆等變形消去零因子（針對於0/0型）。
3、利用無窮大與無窮小的關係求極限。
4、利用無窮小的性質求極限。
5、利用等價無窮小替換求極限，可以將原式化簡計算。
6、利用兩個極限存在準則，求極限，有的題目也可以考慮用放大縮小，再用夾逼定理的方法求極限。
擴充套件資料
看n趨向無窮大時，xn是否趨向一個常數，可是有時xn比較複雜，並不好觀察,加減的時候，把高階的無窮小直接捨去如1+
1/n，用1來代替乘除的時候，用比較簡單的等價無窮小來代替原來複雜的無窮小來。
基本公式：
1、一般數列的通項an與前n項和sn的關係：an=sn-sn-1。
2、等差數列的通項公式：an=a1+(n-1)d
an=ak+(n-k)d
(其中a1為首項、ak為已知的第k項)
當d≠0時，an是關於n的一次式；當d=0時，an是一個常數。
3、等差數列的前n項和公式：sn=an^2+bn
sn=na1+[n(n-1)]d/2
sn=(a1+an)n/2。
當d≠0時，sn是關於n的二次式且常數項為0；當d=0時（a1≠0），sn=na1是關於n的正比例式。
4、等比數列的通項公式：
an=a1
qn-1
an=ak
qn-k
(其中a1為首項、ak為已知的第k項，an≠0)。
5、等比數列的前n項和公式：當q=1時，sn=n
a1(是關於n的正比例式)。
如何判斷一個數列是發散還是收斂？
4樓：不是苦瓜是什麼
看n趨向無窮大時，xn是否趨向一個常數，即可以判斷收斂還是發散。
可是有時xn比較複雜，並不好觀察,加減的時候，把高階的無窮小直接捨去如 1 + 1/n，用1來代替乘除的時候，用比較簡單的等價無窮小來代替原來複雜的無窮小。
收斂函式一定有界，但是有界函式不一定收斂，如f(x)在x=0處f(0)=2，在其他x處f(x)=1，那麼f(x)在x=0處就不是收斂的，那麼f(x)就不是收斂函式，但是f(x)是有界的,因為1≤f(x)≤2。
基本公式：
1、一般數列的通項an與前n項和sn的關係：an=sn-sn-1。
2、等差數列的通項公式：an=a1+(n-1)d an=ak+(n-k)d (其中a1為首項、ak為已知的第k項) 當d≠0時，an是關於n的一次式；當d=0時，an是一個常數。
3、等差數列的前n項和公式：sn=an^2+bn sn=na1+[n(n-1)]d/2 sn=(a1+an)n/2。
當d≠0時，sn是關於n的二次式且常數項為0；當d=0時（a1≠0），sn=na1是關於n的正比例式。
4、等比數列的通項公式： an= a1 qn-1 an= ak qn-k (其中a1為首項、ak為已知的第k項，an≠0)。
5、等比數列的前n項和公式：當q=1時，sn=n a1 (是關於n的正比例式)。
5樓：angela韓雪倩
第一個其實就是正項的等比數列的和，公比小於1，是收斂的。
第二個項的極限是∞，必然不收斂。
拓展資料：
簡單的說
有極限（極限不為無窮）就是收斂，沒有極限（極限為無窮）就是發散。
例如：f（x）=1/x 當x趨於無窮是極限為0，所以收斂。
f（x）= x 當x趨於無窮是極限為無窮，即沒有極限，所以發散。
收斂數列與其子數列間的關係
子數列也是收斂數列且極限為a恆有|xn|若已知一個子數列發散，或有兩個子數列收斂於不同的極限值，可斷定原數列是發散的。
發散級數指不收斂的級數。一個數項級數如果不收斂，就稱為發散，此級數稱為發散級數。一個函式項級數如果在（各項的定義域內）某點不收斂，就稱在此點發散，此點稱為該級數的發散點。
按照通常級數收斂與發散的定義，發散級數是沒有意義的。
然而為了實際的需要，可以確立一些法則，對某些發散級數求它們的“和”，或者說某個發散級數在特定的極限過程中，逐漸逼近某個數。但是在實際的數學研究以及物理等其它學科的應用中，常常需要對發散級數進行運算，於是數學家們就給發散級數定義了各種不同的“和”，比如cesàro和，abel和，euler和等，使得對收斂級數求得的這些和仍然不變，而對某些發散級數，這種和仍然存在。
6樓：大孩子
看n趨向無窮大時，xn是否趨向一個常數，可是有時xn比較複雜，並不好觀察,加減的時候，把高階的無窮小直接捨去如 1 + 1/n，用1來代替乘除的時候，用比較簡單的等價無窮小來代替原來複雜的無窮小來。
基本公式：
1.一般數列的通項an與前n項和sn的關係：an=sn-sn-1。
2.等差數列的通項公式：an=a1+(n-1)d an=ak+(n-k)d (其中a1為首項、ak為已知的第k項) 當d≠0時，an是關於n的一次式；當d=0時，an是一個常數。
3.等差數列的前n項和公式：sn=an^2+bn sn=na1+[n(n-1)]d/2 sn=(a1+an)n/2。
當d≠0時，sn是關於n的二次式且常數項為0；當d=0時（a1≠0），sn=na1是關於n的正比例式。
4.等比數列的通項公式： an= a1 qn-1 an= ak qn-k (其中a1為首項、ak為已知的第k項，an≠0)。
5.等比數列的前n項和公式：當q=1時，sn=n a1 (是關於n的正比例式)。
怎麼判斷函式和數列是收斂或發散的
7樓：demon陌
1、設數列，如果存在常數a，對於任意給定的正數q（無論多小），總存在正整數n，使得n>n時，恆有|xn-a|2、求數列的極限，如果數列項數n趨於無窮時，數列的極限能一直趨近於實數a，那麼這個數列就是收斂的；如果找不到實數a，這個數列就是發散的。看n趨向無窮大時,xn是否趨向一個常數,可是有時xn比較複雜,並不好觀察。這種是最常用的判別法是單調有界既收斂。
3、加減的時候,把高階的無窮小直接捨去如 1 + 1/n,用1來代替乘除的時候,用比較簡單的等價無窮小來代替原來複雜的無窮小來如 1/n * sin(1/n) 用1/n^2 來代替
4、收斂數列的極限是唯一的，且該數列一定有界，還有保號性，與子數列的關係一致。不符合以上任何一個條件的數列是發散數列。另外還有達朗貝爾收斂準則,柯西收斂準則,根式判斂法等判斷收斂性。
擴充套件資料：
收斂級數對映到它的和的函式是線性的，從而根據哈恩-巴拿赫定理可以推出，這個函式能擴張成可和任意部分和有界的級數的可和法，這個事實一般並不怎麼有用，因為這樣的擴張許多都是互不相容的，並且也由於這種運算元的存在性證明訴諸於選擇公理或它的等價形式，例如佐恩引理，所以它們還都是非構造的。
發散級數這一分支，作為分析學的領域，本質上關心的是明確而且自然的技巧，例如阿貝爾可和法、切薩羅可和法、波萊爾可和法以及相關物件。維納陶伯型定理的出現標誌著這一分支步入了新的階段，它引出了傅立葉分析中巴拿赫代數與可和法間出乎意料的聯絡。
發散級數的求和作為數值技巧也與插值法和序列變換相關，這類技巧的例子有：帕德近似、levin類序列變換以及與量子力學中高階微擾論的重整化技巧相關的依序對映。
收斂數列
函式收斂
定義方式與數列收斂類似。柯西收斂準則：關於函式f(x)在點x0處的收斂定義。
對於任意實數b>0,存在c>0,對任意x1,x2滿足0<|x1-x0|收斂的定義方式很好的體現了數學分析的精神實質。
如果給定一個定義在區間i上的函式列，u1(x）， u2（x） ，u3（x）......至un（x）....... 則由這函式列構成的表示式u1（x）+u2（x）+u3（x）+......
+un（x）+......⑴稱為定義在區間i上的（函式項）無窮級數，簡稱（函式項）級數
對於每一個確定的值x0∈i,函式項級數 ⑴ 成為常數項級數u1（x0）+u2（x0）+u3（x0）+......+un（x0）+.... （2） 這個級數可能收斂也可能發散。
如果級數（2）發散，就稱點x0是函式項級數（1）的發散點。
函式項級數（1）的收斂點的全體稱為他的收斂域 ，發散點的全體稱為他的發散域 對應於收斂域內任意一個數x，函式項級數稱為一收斂的常數項 級數 ，因而有一確定的和s。
這樣，在收斂域上 ，函式項級數的和是x的函式s（x），通常稱s（x）為函式項級數的和函式，這函式的定義域就是級數的收斂域，並寫成s（x）=u1（x）+u2（x）+u3（x）+......+un（x）+......把函式項級數 ⑴ 的前n項部分和 記作sn(x)，則在收斂域上有lim n→∞sn(x)=s(x)
記rn(x)=s(x)-sn(x),rn(x)叫作函式級數項的餘項 （當然，只有x在收斂域上rn（x）才有意義，並有lim n→∞rn (x)=0
8樓：wm未末
收斂函式：若函式在定義域的每一點都收斂,則通常稱函式是收斂的。函式在某點收斂,是指當自變數趨向這一點時，其函式值的極限就等於函式在該點的值。
有界函式指的是對於定義域中的任意一個值,相應的函式值都在一個區間內變化，也就是函式值的絕對值總小於某一個固定值，那函式就是有界的。
收斂函式一定有界，但是有界函式不一定收斂，如f(x)在x=0處f(0)=2，在其他x處f(x)=1，那麼f(x)在x=0處就不是收斂的，那麼f(x)就不是收斂函式，但是f(x)是有界的,因為1≤f(x)≤2。
判斷數列是否收斂或者發散：
1、設數列，如果存在常數a，對於任意給定的正數q（無論多小），總存在正整數n，使得n>n時，恆有|xn-a|2、求數列的極限，如果數列項數n趨於無窮時，數列的極限能一直趨近於實數a，那麼這個數列就是收斂的；如果找不到實數a，這個數列就是發散的。看n趨向無窮大時,xn是否趨向一個常數,可是有時xn比較複雜,並不好觀察。這種是最常用的判別法是單調有界既收斂。
3、加減的時候,把高階的無窮小直接捨去如 1 + 1/n,用1來代替乘除的時候,用比較簡單的等價無窮小來代替原來複雜的無窮小來如 1/n * sin(1/n) 用1/n^2 來代替
4、收斂數列的極限是唯一的，且該數列一定有界，還有保號性，與子數列的關係一致。不符合以上任何一個條件的數列是發散數列。另外還有達朗貝爾收斂準則,柯西收斂準則,根式判斂法等判斷收斂性。
拓展資料：
函式極限是高等數學最基本的概念之一，導數等概念都是在函式極限的定義上完成的。
函式極限可以分成x→∞,x→+∞,x→-∞,x→xo,，而運用ε-δ定義更多的見諸於已知極限值的函式極限證明題中。掌握這類證明對初學者深刻理解運用極限定義大有裨益。
以x→xo 的極限為例，f(x) 在點xo 以a為極限的定義是： 對於任意給定的正數ε（無論它多麼小），總存在正數δ ，使得當x滿足不等式0<|x-x。|<δ 時，對應的函式值f(x)都滿足不等式：
|f(x)-a|<ε ，那麼常數a就叫做函式f(x)當 x→x。時的極限。
問題的關鍵在於找到符合定義要求的 ，在這一過程中會用到一些不等式技巧，例如放縮法等。2023年的研究生考試試題中，更是直接考察了考生對定義的掌握情況。
收斂數列與有界數列，如何理解收斂的數列一定有界，而有界的
畫堂晨起 1 數列收斂與存在極限的關係 數列收斂則存在極限，這兩個說法是等價的 2 數列收斂與有界性的關係 數列收斂則數列必然有界，但是反過來不一定成立！如果數列 xn 收斂，那麼該數列必定有界。推論 無界數列必定發散 數列有界，不一定收斂 數列發散不一定無界。數列有界是數列收斂的必要條件，但不是充...
收斂數列一定有界的問題
皖中明 對，收斂數列一定有界，但不一定上下界都有。有界是存在極限的必要條件，但有界不一定就有極限。 收斂必有界，反之則不然。 如果你取乙個數列an 1 n，它顯然收斂，而且最大值在n 1的地方。可以補充這麼乙個看起來很怪異，但是細細一想又很顯然的引理 對於給定的數列，假若任給乙個實數p，總存在乙個正...
證明幾何級數和調和級數的收斂和發散性
先看調和級數 證明如下 由於ln 1 1 n 1 n n 1，2，3，於是調和級數的前n項部分和滿足 sn 1 1 2 1 3 1 n ln 1 1 ln 1 1 2 ln 1 1 3 ln 1 1 n ln2 ln 3 2 ln 4 3 ln n 1 n ln 2 3 2 4 3 n 1 n ln...