1樓：匿名使用者
可以的，這個問題可以考慮三角函式對稱性
其中sinx關於x＝0.5π是對稱的，
才有sin(π－x)＝sinx，
f(sin(π－x))＝f(sinx)，函式保持不變
而cosx沒有這個性質，
cos(π－x)＝-cosx，
f(cos(π－x))＝f(-cosx)，與f(cosx)的關係
要考慮函式f(x)的奇偶性，題目沒有要求的話得不出簡化的結論。
所以，由於cosx關於x＝0對稱，應該有cosx＝cos(-x)
原問題用cosx表示的形式應該是，設f(x)連續，（積分區間為-0.5π到0.5π）∫xf(cosx)dx=0，可以用和原問題一模一樣的推導過程推出這個結論，也可以用函式奇偶性得出。
擴充套件資料：
六邊形的六個角分別代表六種三角函式，存在如下關係：
1）對角相乘乘積為1，即sinθ·cscθ=1； cosθ·secθ=1； tanθ·cotθ=1。
2）六邊形任意相鄰的三個頂點代表的三角函式，處於中間位置的函式值等於與它相鄰兩個函式值的乘積，如：sinθ=cosθ·tanθ；tanθ=sinθ·secθ...
3）陰影部分的三角形，處於上方兩個頂點的平方之和等於下頂點的平方值。
推導方法
定名法則
90°的奇數倍+α的三角函式，其絕對值與α三角函式的絕對值互為餘函式。90°的偶數倍+α的三角函式與α的三角函式絕對值相同。也就是「奇餘偶同，奇變偶不變」。
定號法則
將α看做銳角（注意是「看做」），按所得的角的象限，取三角函式的符號。也就是「象限定號，符號看象限」（或為「奇變偶不變，符號看象限」）。
在kπ/2中如果k為偶數時函式名不變，若為奇數時函式名變為相反的函式名。正負號看原函式中α所在象限的正負號。
關於正負號有個口訣；一全正，二正弦，三兩切，四余弦，即第一象限全部為正，第二象限角，正弦為正，第三象限，正切和餘切為正，第四象限，余弦為正。
或簡寫為「astc」即「all」「sin」「tan+cot」「cos」依次為正。還可簡記為：sin上cos右tan/cot對角，即sin的正值都在x軸上方，cos的正值都在y軸右方，tan/cot 的正值斜著。
比如：90°+α。定名：
90°是90°的奇數倍，所以應取餘函式；定號：將α看做銳角，那麼90°+α是第二象限角，第二象限角的正弦為正，余弦為負。所以sin（90°+α）=cosα , cos（90°+α）=-sinα 這個非常神奇，屢試不爽~
還有乙個口訣「縱變橫不變，符號看象限」，例如：sin（90°+α），90°的終邊在縱軸上，所以函式名變為相反的函式名，即cos，所以sin（90°+α）=cosα。
2樓：數學劉哥
這個問題可以考慮三角函式對稱性
其中sinx關於x＝0.5π是對稱的，
才有sin(π－x)＝sinx，
f(sin(π－x))＝f(sinx)，函式保持不變而cosx沒有這個性質，
cos(π－x)＝-cosx，
f(cos(π－x))＝f(-cosx)，與f(cosx)的關係要考慮函式f(x)的奇偶性，題目沒有要求的話得不出簡化的結論。
所以，由於cosx關於x＝0對稱，應該有cosx＝cos(-x)原問題用cosx表示的形式應該是，設f(x)連續，（積分區間為-0.5π到0.5π）∫xf(cosx)dx=0，可以用和原問題一模一樣的推導過程推出這個結論，也可以用函式奇偶性得出
3樓：
小技巧: 0到π上的積分，f(sinx) = f(cosx)
4樓：匿名使用者
可以，因為sinxcosx含有等式關係
根據公式（積分區間為0到π）∫xf(sinx)dx=(π/2)∫f(sinx)dx，為什麼算不出來？
5樓：華哥
f(sinx)不能表示出 sin2x sin2x=2sinx*cosx 積分後，sin2x=2sinx*(1-(sinx)^2)^0.5 和
-2sinx*(1-(sinx)^2)^0.5 積分區間[0,pi] 內， 被分為兩個區間,2sinx*(1-(sinx)^2)^0.5在[0,pi/2]
-2sinx*(1-(sinx)^2)^0.5在[pi/2,pi] 已不滿足（積分區間為0到π）∫xf(sinx)dx=(π/2)∫f(sinx)dx的分條件，
1.設f(x)在區間[0,1]上連續，證明： ∫ 0到派 xf(sinx)dx=派∫0到派/2 f（sinx)dx 5
6樓：哆嗒數學網
題抄錯了。
樓上的最後一步也是錯的
等號右邊f裡面，應該是cosx
見參考資料
7樓：匿名使用者
證明：令t=π-x,則x∈[0,π]時, t∈[π, 0] dx=-dt
則i=∫(0→π) xf(sinx) dx=-∫(π→0) (π-t)f(sin(π-t)) dt=-∫(π→0) (π-t)f(sint) dt=∫(0→π)(π-t)f(sint) dt=∫(0→π)πf(sint) dt-∫(0→π)tf(sint)dt
=∫(0→π)πf(sinx) dx-i
∴i=(1/2)∫(0→π)πf(sinx) dx=π∫(0→π/2)f(sinx) dx證畢
證明：若函式f(x)在[0,1]上連續，則∫xf(sinx)dx=π/2∫f(sinx)dx (上限 π，下限 0)
8樓：丘冷萱
令u=π-x，du=-dx，u：π--->0，則
∫[0--->π] xf(sinx)dx
=-∫[π--->0] (π-u)f(sin(π-u))du
=∫[0--->π] (π-u)f(sinu)du
=π∫[0--->π] f(sinu)du-∫[0--->π] uf(sinu)du
積分變數可隨便換字母
=π∫[0--->π] f(sinx)dx-∫[0--->π] xf(sinx)dx
將 -∫[0--->π] xf(sinx)dx 移到等式左邊與左邊合併，然後除去係數
∫[0--->π] xf(sinx)dx=π/2∫[0--->π] f(sinx)dx
9樓：匿名使用者
令t= π-x，自己代入
如何證明∫[0,π]xf(sinx)dx=π∫[0,π/2]f(sinx)dx
10樓：假面
如圖所示：
如果上限x在區間[a,b]上任意變動，則對於每乙個取定的x值，定積分有乙個對應值，所以它在[a,b]上定義了乙個函式，這就是積分變限函式。
11樓：匿名使用者
計算∫[π/2,π]xf(sinx)dx
令x=π-t 得
∫[π/2,π]xf(sinx)dx
=∫[π/2,0] (π-t)f(sin(π-t))d(π-t)=∫[0,π/2] (π-t)f(sint)dt=π∫[0,π/2] f(sint)dt-∫[0,π/2]t f(sint)dt∫[0,π]xf(sinx)dx
=∫[0,π/2]t f(sint)dt+∫[π/2,π]xf(sinx)dx
=π∫[0,π/2]f(sint)dt
12樓：匿名使用者
滿意請採納
設函式f x 和g x 在區間上連續，且g x 0,x，證明 至少存在一點a,b ,使得
我的解答這麼簡單，為什麼不採納我的啊！ 設g x 3f x 2f x 顯然g x 在 a，b 連續 如果f x c c為常數 則f x 0，f x c f b 0，所以g x 0，即對任意k a，b 均滿e68a8462616964757a686964616f31333330363831足3f k ...
設函式f（x）連續，且x0tf 2x t dt 12arc
狗狗 令u 2x t，則t 2x u，dt du 於是有 x0tf 2x?t dt x2x 2x?u f u du 2xx 2x?u f u du 2x 2xx f u du 2xx uf u du 即 x 0tf 2x?t dt 2x 2xx f u du 2xx uf u du 又有 x0 tf...
設f x 定積分 lnt 1 t dt x0 ,上限x,下限1,求f x f
阿乘 lnx 2 2 先將f 1 x 的積分進行倒數換元，之後兩式相加，積分就求出來了。 f x lnx 1 x dx x 1 x lnm 1 m dm m 1 x 先 感受一下寫成積分變數m不影響結果 lns 1 s ds s 1 x 同樣不影響 下面要用這個結果的 f 1 x lnt 1 t d...