1樓：匿名使用者
這個好像沒有很簡單的形式吧。
這個相當於 arctan x的 n+1階導數.
設 y= 1/(1+x^2)
可假設其n階導數是 pn(x)/(1+x^2)^(n+1)的形式，其中pn(x)是關於x的乙個多項式。 p0(x)=1。
這裡我們求出pn(x)的遞推公式
y^(n) =pn(x)/(1+x^2)^(n+1)
所以 (1+x^2)^(n+1) y^(n)= pn(x)
兩邊對x求導
(n+1)(1+x^2)^n * (2x) y^(n) +(1+x^2)^(n+1) y^(n+1) =pn'(x)
從而算出 代入 y^(n)= pn(x)/(1+x^2)^(n+1)
可以得到
y^(n+1)= (pn'(x)-(n+1)xpn(x))/(1+x^2)^(n+2)
所以 pn+1(x) = pn'(x) - (n+1)xpn(x)
我們的遞推基礎是 p0(x)=1
因此 其n階導數是 pn(x)/(1+x^2)^(n+1),其中
pn+1(x)=pn'(x) -(n+1)xpn(x)
比如由此可以算出
p1(x) =0 -2x =-2x
p2(x) = -2 +6x^2
等等不知道是否滿意這個答案。。。
有個簡單的辦法是：設 i^2=-1
則 y=1/(1+x^2)= 1/(x+i)(x-i) = 2i(1/(x-i)-1/(x+i))
這樣用複數來表示，n階導數就很好求了，因為這個轉化為求
1/(x-i)這種簡單函式的n階導數，這裡的i始終當常數看待即可。
用複數求出的n階導數是
(-1)^n * 2i * (1/(x-i)^（n+1）- 1/(x+i)^(n+1))
如果非要想消掉i的話，括號裡邊通分，分母是 （x^2+1）^(n+1)
分子是 （x+i）^(n+1) - (x-i)^(n+1)
利用 a^(n+1)-b^(n+1)=(a-b)(a^n+a^(n-1)b+...+b^n)
的公式可以得到
(x+i)-(x-i)=2i
這個跟外面的2i相乘得到-4
剩下那個就要麻煩一點了
設 u為終邊過 (x,1)的角
r=(√x^2+1)
則 (x+i)=r(cos u+ i*sin u)
(x-i)=r(cos (-u)+ i*sin (-u))
(x+i)^k=r^k(cos ku+i*sin ku)
記 這樣可以把分子全部用複數的角形式來表示，
當n是奇數
(x+i)^n+(x-i)^n= r^n (cos nu+isin nu + cos nu -isin nu)=r^n*2cos nu
(x+i)^(n-1)(x-i)+ (x+i)(x-i)^(n-1)
= r^n(cos (n-2)u+isinc (n-2)u + cos (2-n)u+isin(2-n)u)=r^n 2cos (n-2)u
這樣下去分子就變成了
2r^n (cos nu+ cos (n-2)u+...+cos 3u+ cos u)
在外邊乘上乙個sin u可以利用積化和差公式求和，然後就只能這樣表示了，要換成x好像有點困難
n是偶數，用同樣的辦法你得到
2r^n(cos nu+...+cos 2u + 1)
其中 cos nu+...+cos 2u 乘上sin u可求和，同樣的，要轉化成x就很困難了，求和後有個cos(n+1)u
2樓：德洛伊弗
上面那些方法確實能做，但化成實數以後形式很繁瑣。 不妨換個思路， 用三角函式來表示。
至於解答的形式，我是多導了幾次猜出來的，有些運氣成分，不過關鍵是要想到用三角函式來表示，這樣形式上可能會簡單.
3樓：匿名使用者
利用(x+a)^(-1)的n次求導公式和複數的尤拉公式就能解決這道問題，最終答案不含有虛數i:
4樓：匿名使用者
1階導數=（1+x^2）^(-2)(2x)
2階導數=（1+x^2)^(-3)(3x*x-1)*2
依此類推
5樓：
(2x)^n*(1+x^2)^(-n-1)
6樓：匿名使用者
=(2x)^n*(1+x^2)^(-n-1)
求ln（1+x^2）的n階導數，怎麼用泰勒公式做呢？ （帶過程）
7樓：匿名使用者
^^先利用函式ln(1+x)的冪級數式
ln(1+x)=∑(-1)^n x^(n+1)/(n+1)， n=0到∞求和
於是專y=ln(1+x²)=∑(-1)^n x^(2n+2)/(n+1)
依次求導可得
y'=∑(-1)^n [(2n+2)/(n+1)]x^(2n+1)y''=∑(-1)^n [(2n+2)(2n+1)/(n+1)]x^(2n)
.......
y的k階導數屬=∑(-1)^n x^(2n-k+2)不明白可以追問，如果有幫助，請選為滿意回答！
y=1/(1-x^2)的n階導數 求解
8樓：茹翊神諭者
拆成兩部分，然後用書上的公式5
答案如圖所示，有任何疑惑，歡迎追問
9樓：乙個人郭芮
y=1/(1-x^2)
拆開得到y=1/2 *[1/(1-x) +1/(1+x)]即y=1/2 * [(1-x)^(-1) + (1+x)^(-1)]那麼求導n次得到
y(n)=1/2 *[(1-x)^(-1-n) *(-1)^n + (1+x)^(-1-n)] *n! *(-1)^n
1／（x-1）的n階導數有什麼公式嗎？還是一階一階的求再歸納？
10樓：匿名使用者
^^^一階一階的求再歸納
y=1／（x-1）=(x-1)^(-1)
y'=-(x-1)^(-2)
y''=2(x-1)^(-3)
y'''=-3!內(x-1)^(-4)
一般地：y的n階導容數=[(-1)^n](n!)(x-1)^(-n-1)
11樓：匿名使用者
冪函式直接有公bai式的啊du
。。。直接看成zhi（x-1）的-n次才做就行了。。。y'=-n*(x-1)^dao(-n-1)
=-n/[(x-1)^(n+1)]
附公式：冪函式求版導權 y=x^n,y'=n*x^(n-1)(n∈r) 【1/x的導數為-1/(x^2)】
1 x 2怎麼展開為冪級數的，圖中1 1 x 2怎麼為冪級數的？
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