線性方程組AX 0和BX 0同解的充分必要條件是什麼

1樓：小小芝麻大大夢

ax=0與bx=0同解的充要條件是r(a) = r(b) = r(a ; b) (a,b上下放置)

可以轉化成方程組理解一下，r(a ; b)=r(a)就說明以a為係數矩陣的方程組和以(a ; b)為係數矩陣的方程組的約束條件數量一致，說明ax=0和bx=0兩個方程組等價。即同解。這是充分性。

必要性也一樣可以通過方程組理解。

擴充套件資料

線性方程組的解法

1、克萊姆法則.用克萊姆法則求解方程組有兩個前提，一是方程的個數要等於未知量的個數，二是係數矩陣的行列式要不等於零。

用克萊姆法則求解方程組實際上相當於用逆矩陣的方法求解線性方程組，它建立線性方程組的解與其係數和常數間的關係，但由於求解時要計算n+1個n階行列式，其工作量常常很大，所以克萊姆法則常用於理論證明，很少用於具體求解。

2、矩陣消元法.將線性方程組的增廣矩陣通過行的初等變換化為行簡化階梯形矩陣，則以行簡化階梯形矩陣為增廣矩陣的線性方程組與原方程組同解。當方程組有解時，將其中單位列向量對應的未知量取為非自由未知量，其餘的未知量取為自由未知量，即可找出線性方程組的解。

2樓：徐臨祥

ax=0與bx=0同解的充要條件是r(a) = r(b) = r(a。b) (a,b上下放置)。可以轉化成方程組理解一下，r(a。

b)=r(a)就說明以a為係數矩陣的方程組和以(a。b)為係數矩陣的方程組的約束條件數量一致，說明ax=0和bx=0兩個方程組等價。即同解。

這是充分性。必要性也一樣可以通過方程組理解。以上是個人理解。

為什麼在齊次線性方程組中，ax=0與bx=0同解，可得ax=0與(a，b)^t=0同解

3樓：匿名使用者

ax=0的解都是bx=0的解,∴a,b的列數相等﹙例如都是n﹚,且r(a)=r(b)＝r

ax=0,bx=0的基礎解系的容量都專是n-r.ax=0的基礎解系 ,都是bx=0的解,正好構屬成bx=0的基礎解系,即bx=0的任何解,都是ax=0的基礎解系的線性組合,從而也是ax=0的解 .

∴兩個方程組同解.

矩陣a與b的行向量組等價的充分必要條件為什麼是齊次方程組ax=0與bx=0同解

4樓：匿名使用者

證: 必要性

因為a與b的行向量組等價

所以a可經初等行變換化為b

所以存在可逆矩陣p, 使得 pa=b

易知 ax=0 的解是 pax=0 的解.

反之, pax=0 的解也是 p^-1pax=0 即 ax=0 的解

所以 ax=0 與 pax=0 同解

即 ax=0與bx=0同解.

充分性由 ax=0與bx=0同解

知 a,b 的行簡化梯矩陣相同

即存在可逆矩陣p,q,使得 pa=qb

所以 q^-1pa=b

所以 a與b的行向量組等價.

5樓：匿名使用者

這個證明大概寫一下

充分性因為齊次方程組ax=0與bx=0同解當兩個方程有唯一解，那麼解相等

且為0，所以a,b秩相同

所以a與b相抵，所以行向量等價

有無窮多解，且標準基礎解基唯一，即存在解向量矩陣秩為n-r所以r(a)=r(b),所以a,b相抵

必要性矩陣a,b經過行初等變換可以化為行標準階梯矩陣，且該矩陣唯一而初等變換不改變方程組解，因為a,b行向量等價，所以r(a)=r(b)

因此a,b的行標準階梯矩陣相同，且ax=0與bx=0標準基礎解系唯一所以齊次方程組ax=0與bx=0同解