1樓：手機使用者
一個數如果是另一個整數的完全平方，那麼我們就稱這個數為完全平方數，也叫做平方數。例如： 0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361,400,441,484,… 觀察這些完全平方數，可以獲得對它們的個位數、十位數、數字和等的規律性的認識。
下面我們來研究完全平方數的一些常用性質： 性質1：完全平方數的末位數只能是0,1,4,5,6,9。
性質2：奇數的平方的個位數字為奇數，十位數字為偶數。 證明 奇數必為下列五種形式之一：
10a+1, 10a+3, 10a+5, 10a+7, 10a+9 分別平方後，得 (10a+1)^2=100a^2+20a+1=20a(5a+1)+1 (10a+3)^2=100a^2+60a+9=20a(5a+3)+9 (10a+5)^2=100a^2+100a+25=20 (5a+5a+1)+5 (10a+7)^2=100a^2+140a+49=20 (5a+7a+2)+9 (10a+9)^2=100a^2+180a+81=20 (5a+9a+4)+1 綜上各種情形可知：奇數的平方，個位數字為奇數1,5,9；十位數字為偶數。 性質3：
如果完全平方數的十位數字是奇數，則它的個位數字一定是6；反之，如果完全平方數的個位數字是6，則它的十位數字一定是奇數。 證明 已知m^2=10k+6，證明k為奇數。因為的個位數為6，所以m的個位數為4或6，於是可設m=10n+4或10n+6。
則 10k+6=(10n+4)^2=100+(8n+1)x10+6 或 10k+6=(10n+6)^2=100+(12n+3)x10+6 即 k=10+8n+1=2(5+4n)+1 或 k=10+12n+3=2(5+6n)+3 ∴ k為奇數。 推論1：如果一個數的十位數字是奇數，而個位數字不是6，那麼這個數一定不是完全平方數。
推論2：如果一個完全平方數的個位數字不是6，則它的十位數字是偶數。 性質4：
偶數的平方是4的倍數；奇數的平方是4的倍數加1。 這是因為 (2k+1)=4k(k+1)+1 (2k)=4 性質5：奇數的平方是8n+1型；偶數的平方為8n或8n+4型。
在性質4的證明中，由k(k+1)一定為偶數可得到(2k+1)是8n+1型的數；由為奇數或偶數可得(2k)為8n型或8n+4型的數。 性質6：平方數的形式必為下列兩種之一：
3k,3k+1。 因為自然數被3除按餘數的不同可以分為三類：3m,3m+1, 3m+2。
平方後，分別得 (3m)=9=3k (3m+1)=9+6m+1=3k+1 (3m+2)=9+12m+4=3k+1 同理可以得到： 性質7：不能被5整除的數的平方為5k±1型，能被5整除的數的平方為5k型。
性質8：平方數的形式具有下列形式之一：16m,16m+1, 16m+4,16m+9。
除了上面關於個位數，十位數和餘數的性質之外，還可研究完全平方數各位數字之和。例如，256它的各位數字相加為2+5+6=13，13叫做256的各位數字和。如果再把13的各位數字相加：
1+3=4，4也可以叫做256的各位數字的和。下面我們提到的一個數的各位數字之和是指把它的各位數字相加，如果得到的數字之和不是一位數，就把所得的數字再相加，直到成為一位數為止。我們可以得到下面的命題：
一個數的數字和等於這個數被9除的餘數。 下面以四位數為例來說明這個命題。 設四位數為，則 = 1000a+100b+10c+d = 999a+99b+9c+(a+b+c+d) = 9(111a+11b+c)+(a+b+c+d) 顯然，a+b+c+d是四位數被9除的餘數。
對於n位數，也可以仿此法予以證明。 關於完全平方數的數字和有下面的性質： 性質9：
完全平方數的數字之和只能是0,1,4,7,9。 證明 因為一個整數被9除只能是9k,9k±1, 9k±2, 9k±3, 9k±4這幾種形式，而 (9k)=9(9)+0 (9k±1)=9(9±2k)+1 (9k±2)=9(9±4k)+4 (9k±3)=9(9±6k)+9 (9k±4)=9(9±8k+1)+7 除了以上幾條性質以外，還有下列重要性質： 性質10：
為完全平方數的充要條件是b為完全平方數。 證明 充分性：設b為平方數，則 ==(ac) 必要性：
若為完全平方數，=，則 性質11：如果質數p能整除a，但p的平方不能整除a，則a不是完全平方數。 證明 由題設可知，a有質因數p，但無因數，可知a分解成標準式時，p的次方為1，而完全平方數分解成標準式時，各質因數的次方均為偶數，可見a不是完全平方數。
性質12：在兩個相鄰的整數的平方數之間的所有整數都不是完全平方數，即若 n^2 < k^2 < (n+1)^2 則k一定不是整數。 性質13：
一個正整數n是完全平方數的充分必要條件是n有奇數個因數(包括1和n本身)。 (二)重要結論 1.個位數是2,3,7,8的整數一定不是完全平方數； 2.
個位數和十位數都是奇數的整數一定不是完全平方數； 3.個位數是6，十位數是偶數的整數一定不是完全平方數； 4.形如3n+2型的整數一定不是完全平方數； 5.
形如4n+2和4n+3型的整數一定不是完全平方數； 6.形如5n±2型的整數一定不是完全平方數； 7.形如8n+2, 8n+3, 8n+5, 8n+6,8n+7型的整數一定不是完全平方數； 8.
數字和是2,3,5,6,8的整數一定不是完全平方數。 (三)範例 [例1]：一個自然數減去45及加上44都仍是完全平方數，求此數。
解：設此自然數為x，依題意可得 x-45=m^2; (1) x+44=n^2 (2) (m,n為自然數) (2)-(1)可得 : n^2-m^2=89或：
(n-m)(n+m)=89 因為n+m>n-m 又因為89為質數， 所以：n+m=89; n-m=1 解之，得n=45。代入(2)得。
故所求的自然數是1981。 [例2]：求證：
四個連續的整數的積加上1，等於一個奇數的平方(2023年基輔數學競賽題)。 分析 設四個連續的整數為，其中n為整數。欲證 是一奇數的平方，只需將它通過因式分解而變成一個奇數的平方即可。
證明 設這四個整數之積加上1為m，則 m為平方數 而n(n+1)是兩個連續整數的積，所以是偶數；又因為2n+1是奇數，因而n(n+1)+2n+1是奇數。這就證明了m是一個奇數的平方。 [例3]：
求證：11,111,1111,這串數中沒有完全平方數(2023年基輔數學競賽題)。 分析 形如的數若是完全平方數，必是末位為1或9的數的平方，即或 在兩端同時減去1之後即可推出矛盾。
證明 若，則 因為左端為奇數，右端為偶數，所以左右兩端不相等。 若，則 因為左端為奇數，右端為偶數，所以左右兩端不相等。 綜上所述，不可能是完全平方數。
另證 由為奇數知，若它為完全平方數，則只能是奇數的平方。但已證過，奇數的平方其十位數字必是偶數，而十位上的數字為1，所以不是完全平方數。 [例4]：
試證數列49,4489,444889, 的每一項都是完全平方數。 證明 = =++1 =4+8+1 =4()(9+1)+8+1 =36 ()+12+1 =(6+1) 即為完
2樓：雙蘭若
一個數,是有理數的平方,這個數就是完全平方數.換言之,把一個數開方,是有理數,那麼這個數就是完全平方數. 檢視原帖》
3樓：vic白菜
完全平方即用一個整數乘以自己例如1*1，2*2,3*3等等，依此類推 檢視原帖》
什麼是完全平方數？
4樓：泣恨彤幻珊
完全平方數是指：一個自然數與其本身相乘的積，稱為這個數的完全平方數。舉例：25、49、100、169等等都是完全平方數。
5樓：易書科技
完全平方數是這樣一種數：它可以寫成一個正整數的平方。例如，36是6×6，49是7×7。
你知道嗎？
從1開始的n個奇數的和是一個完全平方數，n2——即：
1+3+5+7+……+（2n-1）=n2。
例如1+3+5+7+9=25=52。
每一個完全平方數的末位數是：
0，1，4，5，6，或9。
每一個完全平方數要末能被3整除，要末減去1能被3整除。
每一個完全平方數要末能被4整除，要末減去1能被4整除。
每一個完全平方數要末能被5整除，要末加上1或減去1能被5整除。
完全平方數是什麼？
6樓：喵喵喵啊
完全平方指用一個整數乘以自己例如1*1，2*2，3*3等，依此類推。若一個數能表示成某個整數的平方的形式，則稱這個數為完全平方數。
完全平方數是非負數，而一個完全平方數的項有兩個。注意不要與完全平方式所混淆。
如果一個正整數 a 是某一個整數 b 的平方，那麼這個正整數 a 叫做完全平方數。零也可稱為完全平方數。
擴充套件資料
完全平方數的性質如下：
1、平方數的個位數字只能是 0， 1，4，5，6，9 。
2、任何偶數的平方一定能被 4 整除；任何奇數的平方被 4(或 8)除餘 1，即被4 除餘 2 或 3 的數一定不是完全平方數。
3、完全平方數的個位數字是奇數時，其十位上的數字必為偶數。完全平方數的個位數字是 6 時，其十位數字必為奇數。
4、凡個位數字是 5 但末兩位數字不是 25 的自然數不是完全平方數；末尾只有奇數個 0 的自然數不是完全平方數；個位數字是 1，4，9 而十位數字為奇數的自然數不是完全平方數。
5、除 1 外，一個完全平方數分解質因數後，各個質因數的指數都是偶數，如果一個數質分解後， 各個指數都為偶數， 那麼它肯定是個平方數。 完全平方數的所有因數的總個數是奇數個。因數個數為奇數的自然數一定是完全平方數。
6、如果 a 、b 是平方數， a=bc ，那麼 c 也是完全平方數。
7、兩個連續自然數的乘積一定不是平方數，兩個連續自然數的平方數之間不再有平方數。
8、如果十位數字是奇數，則它的個位數字一定是6；反之也成立。
什麼是完全平方數，什麼叫完全平方數
完全平方指用乙個整數乘以自己例如1 1，2 2，3 3等，依此類推。若乙個數能表示成某個整數的平方的形式，則稱這個數為完全平方數。完全平方數是非負數，而乙個完全平方數的項有兩個。注意不要與完全平方式所混淆。平方數的個位數字只能是 0，1，4，5，6，9 任何偶數的平方一定能被 4 整除 任何奇數的平...
什麼叫完全平方數，完全平方數是什麼？
九章出版社提供 一 完全平方數的性質 乙個數如果是另乙個整數的完全平方，那麼我們就稱這個數為完全平方數，也叫做平方數。例如 0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361,400,441,484,觀察這些完全平方數，...
數學上完全平方數是什麼意思，數學完全平方公式是什麼，用文字表達
完全平方數 一 完全平方數的性質 乙個數如果是另乙個整數的完全平方，那麼我們就稱這個數為完全平方數，也叫做平方數。例如 0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361,400,441,484,觀察這些完全平方數，可以...