1樓：匿名使用者
間斷點是指：在非連續函式y=f(x)中某點處xo處有中斷現象，那麼，xo就稱為函式的不連續點。
設一元實函式f（x）在點x0的某去心鄰域內有定義。如果函式f(x)有下列情形之一：
（1）在x=x0沒有定義；
（2）雖在x=x0有定義，但x→x0 limf(x)不存在；
（3）雖在x=x0有定義，且x→x0 limf(x)存在，但x→x0 limf(x)≠f(x0),
則函式f(x)在點x0為不連續，而點x0稱為函式f(x)的間斷點。
型別：可去間斷點：函式在該點左極限、右極限存在且相等，但不等於該點函式值或函式在該點無定義。如函式y=（x^2-1)/(x-1)在點x=1處。
跳躍間斷點：函式在該點左極限、右極限存在，但不相等。如函式y=|x|/x在點x=0處。
無窮間斷點：函式在該點可以無定義，且左極限、右極限至少有乙個為∞。如函式y=tanx在點x=π/2處。
振盪間斷點：函式在該點可以有無定義，當自變數趨於該點時，函式值在兩個常數間變動無限多次。如函式y=sin(1/x)在x=0處。
可去間斷點和跳躍間斷點稱為第一類間斷點，也叫有限型間斷點。其它間斷點稱為第二類間斷點。
所以：f（x）=丨x丨中 x=0不是這個函式的間斷點
可導的函式一定連續。不連續的函式一定不可導。
2樓：匿名使用者
連續未必可導。如 x = 0 是 f(x) = |x| 的連續點，但同時也是不可導點。
若有某個有間斷點的函式f，假設有原函式f，，那麼在分段點處的原函式f的導數f不存在，則可以證明該函
函式在某一點的左右導數相等，那麼在這一點一定是可導的嗎
3樓：是你找到了我
函式在某一點的左右導數相等，那麼在這一點不一定是可導。例如，可去間斷點：左極限和右極限存在且相等但是該點沒有定義。
給定乙個函式f（x），對該函式在x0取左極限和右極限。f(x)在x0處的左、右極限均存在的間斷點稱為第一類間斷點。若f(x)在x0處得到左、右極限均存在且相等的間斷點，稱為可去間斷點。
可去間斷點是不連續的。可去間斷點可以用重新定義xo處的函式值使新函式成為連續函式。
4樓：匿名使用者
函式在某一點可導的充要條件就是左右導數存在且相等，所以左右導數相等就一定可導。其他那些扯到極限的都是不正確的，那是在討論導函式是否連續的問題，跟在那一點可導沒關係。在那一點可導，並不要求導函式在那一點要連續。
5樓：匿名使用者
這個採納答案是認真的嗎？可導的充要條件就是左右導數相等，按採納的答案的話，等於直接推翻了這個定理。
6樓：崎嶇以尋壑
在某一點的左導數右導數存在相等，還需要在這一點連續，否則不相等。
比如可去間斷點，滿足左右導數存在且相等，但在這一點不連續，故不可導，連續是可導的必要條件。
7樓：白馬非馬也
可去間斷點是左右極限存在且相等，但是極限值不等於函式值所以不連續
8樓：
再一點沒定義，間斷導數肯定都是不存在的。左右導數存在，肯定能推出在該點函式連續。其次，導數相等，必推出函式在該點可導。
導函式不一定是連續函式？而且間斷點只能是第二類？
9樓：風清響
函式某點可導的充要條件不是左導數、右導數都存在且相等，這個沒錯，但是這個是說函式要連續，但是並不意味著導函式也要連續。
函式可導只能推出連續，不可能推出導函式也連續。
關於間斷點
首先我們討論一下原函式的存在性：
1.當f(x)連續時，一定存在原函式f(x)
2.當f(x)存在第一類間斷點時，一定不存在原函式。
言外之意就是，f(x)存在第二類間斷點時，可以存在原函式。
然後我們來討論你的問題，首先導函式不一定是連續函式，前面已經講了。那麼我們來討論，導函式的間斷點是否必須為第二類。
既然是「導函式」，說明是某函式求導得到的函式。也就是說，該「導函式」一定是有原函式的。
既然有原函式，根據前面的原函式存在性定理，那麼必須不能有第一類間斷點，可以是連續的，
下面給出詳細的證明。
首先我們要搞清楚，導數的左（右）極限=左（右）導數的條件是什麼。
設f(x) 在x=c點鄰域內連續，可導。且導函式在c點左右兩側極限存在（假設極限為a）。
f`(c-0)=lim(f(x)-f(c))/(x-c)，由羅比達法則，f`(c-0)=limf`(x)=a
x-c-
也就是此時左導數=導數的左極限=a
同理此時右導數=導數的右極限=a
下面我們證明，導數的間斷點只能是第二類間斷點。
反證法：假設x=c是導函式f`(x)的間斷點，且是第一類間斷點（即limf`(x)=a和limf`(x)=a都存在）
因為limf`(x)=a和limf`(x)=a都存在，則f`(c-0)=f`(c+0)，也就是說，x=c是導函式f`(x)的連續點。
矛盾。所以只能是第二類間斷點。
10樓：匿名使用者
這句話的前提應該是導函式在某個區間上存在，然後再討論導函式的連續性問題。而不是原函式的連續性問題。
正是因為導數存在，所以如果導函式f'(x)的間斷點是第一類間斷點，那麼左右導數的極限就存在且不等，於是原函式f(x)不可導，與前提矛盾。所以只能是第二類間斷點。
11樓：匿名使用者
是導函式有間斷點。具體的經典例子是f(x)=x^2 sin (1/x) （的導函式）在x=0的情形。
可以證明導函式滿足中介值性質，是說如果f'(a)>0，f'(b)<0，那麼存在a,b之間的乙個c滿足f'(c)=0（跟連續函式的中介值性質是一樣的）。證明想法簡述如下。不妨假定a0，使得
(f(a+h)-f(a)) / h >0，也就是a點旁邊的一段割線的斜率大於0，類似b點旁邊一段割線的斜率小於0。那麼a、b之間有一段割線的斜率等於0，也就是f(p+h)=f(p)，其中a 根據rolle或者lagrange中值定理，有f'(c)=0，其中c是某個p和p+h之間的數。 有中介值性質就不能有導函式在一點左右極限不相等的那種間斷點。 分段函式間斷點導數怎麼求？必須用定義法求左右導數嗎？太麻煩了。 12樓： 你是指distribution嗎 其中會遇到乙個fonction dirac 對間斷點的導數在 訊號處理裡面這是蠻簡單的問題 為什麼可導一定連續呢，如果在該點左右導數相等，但函式在該點取值與左右導數不等，不就是可去間斷點了嗎 13樓：之何勿思 可導必連續，這是顯然的。利用導數的極限定義就可以看出，如果可導。那麼對應的極限存在。 因為是分式型，且分母為無窮小量，那麼分子必為無窮小量，也就是lim(x→x_0)f(x)-f(x_0)=0，所以lim(x→x_0)f(x)=f(x_0)。這就說明了其連續。 關於函式的導數和連續有比較經典的四句話： 1、連續的函式不一定可導。 2、可導的函式是連續的函式。 3、越是高階可導函式曲線越是光滑。 4、存在處處連續但處處不可導的函式。 14樓：匿名使用者 首先，連續的定義，是左右極限相等且等於函式值。而不是左右導數相等且等於函式值。導數值不等於函式值的函式大把的是，絕大部分的函式，導數值都不等於函式值。 比方說最簡單的函式f（x）=1，這個常數函式，f'（x）=0，任何一點的導數值都不等於函式值。但是這個函式任何一點的極限值都等於函式值，所以是連續函式。 大概你說的是這樣的函式吧？ 如上圖，函式在x0點處是個可去間斷點，函式值不是其在x0點的極限值。 大概你是覺得根據x0兩邊的函式式，得到的所謂「左右導數」是相等的，但是這個函式又是不連續的。和可導必連續矛盾。 你看看導數的定義公式吧。 f'（x0）=lim（x→x0）[f（x）-f（x0）]/（x-x0） 如果是上面的函式，那麼在x0點，這個極限式子，分母x-x0是個無窮小，極限是0,；分母因為函式不連續，所以lim（x→x0）f（x）≠f（x0），所以分子的極限不是0，不是無窮小。那麼分子極限不是0，分母極限是0，這樣的極限能存在嗎，極限等於無窮大，屬於極限不存在的情況哦。 15樓：匿名使用者 導數和函式值沒有關係啊，導數的定義是要x變化乙個極微小的量時，f（x）的變化量除以x的變化量，如果左右斜率相等但不連續，那左右的導數值是不相等的 乙個函式f，其在負無窮到正無窮的導數為乙個擁有無窮間斷點的函式f'，那麼f有可能連續嗎？即如下圖所 16樓：愛塔哥一生 如果導數有間斷點，即使是可去間斷點，那原函式一定有拐點。所謂導數其實就是表示原函式各個點的斜率值。如果原函式影象有尖點，無法找出與這一點相切的直線 17樓：草鞋d路飛 二節函式在負區間是遞增的，說明三節函式在該區間為正，同理三節導函式在正區間為負 乙個函式的導函式是否存在第一類間斷點？ 18樓：匿名使用者 導函式不存在第一類間斷點是在其定義域上說的，就是說導函式在它的間斷點處是有定義的（也就是原函式在這點是存在導數的），那麼這點不可能是導函式的第一類間斷點，理由是這樣的，如果導函式在該點處有定義（原函式在該點可導），而導函式在該點左右極限都存在但不相等，那麼原函式在該點處存在左導數和右導數，分別等於導函式在該處的左極限和可極限，但由於這兩個極限不相等，所以原函式在該點處的左導數和右導數不相等，這與導函式在該點有定義（原函式在該點存在導數）矛盾，所以如果導函式在該點存在左右極限且不相等，則導函式在該點處沒有定義（原函式在這點不可導，因為左導數和右導數不等），如果要求導函式在該點處有定義（原函式在該點處可導）的話，則導函式在該點處的兩上極限要麼相等，要麼至少有乙個不存在。 19樓：匿名使用者 導函式不存在第一類間斷點的前提是該導函式在某區間內有定義 20樓：匿名使用者 這個問題的等價問題是乙個函式如果存在第一類間斷點,那麼它是否存在原函式,答案是否定的 21樓：匿名使用者 原函式可導必連續，第一類間斷點對應的原函式那個點連續嗎 為什麼有第一類間斷點的函式一定不存在原函式，但有第 22樓：匿名使用者 這句bai 話應該反過來說,應該是du: 在某個區間上可zhi 導的函式,其導函式在該dao區間上版沒有第一類間權斷點. 可以通過拉格朗日中值定理證明上述定理(又叫做導函式連續定理): 若f(x)在x0的某個鄰域u(x0;δ)內連續,在該去心鄰域u°(x0;δ)上可導,且lim(x→x0)f'(x)存在,則f(x)在x0處也可導,並有f'(x0)=lim(x→x0)f'(x) 而第一類間斷點的定義是函式在某點左右極限都存在,但不等於該點函式值. 顯然,如果導函式在某點左右極限存在且相等,那麼導函式在該點連續,該點就不可能是可去間斷點. 而如果導函式在某點左右極限存在卻不等,那麼導函式的左極限就是原函式的左導數,導函式的右極限就是原函式的右導數.左右極限不等意味著左右導數不等,所以原函式在該點不可導,或者說導函式在該點無定義.因此該點不會是跳躍間斷點(第一類間斷點的定義裡強調了該點必須要有函式值,既然在該點無定義,即使左右極限不等,它也不是跳躍間斷點). 綜上,在某個區間上可導的函式,其導函式在該區間上沒有第一類間斷點成立. 假面 點x 0是函式f x xsin 1 x 的去間斷點 具體回答如下 f 0 無定義 因為x是分母不能為0 因此x 0是間斷點 加之在0處左右極限存在且相等 故是可去間斷點 如果函式f x 有下列情形之一 1 函式f x 在點x0的左右極限都存在但不相等，即f x0 f x0 2 函式f x 在點... 摩廣英懷妍 直觀想下，第一了間斷點其實還是在極限存在的情況下的，第二類就徹底沒的了。導函式是對原函式的斜率，所以斜率要麼是存在的，要麼是無窮的啊，所以只能是第二類間斷點，我看全書的時候就這麼想的，不知道對不對哈。 首蕊騎鶯 導函式f x0 存在，那麼f x0 lim f x f x0 x x0 存在... 夜曉黎滅 你看比如這個函式，f x 在x0處左右極限都趨向於y0，但是f x0 y1，很直觀的看見它間斷了，這就是可去間斷點左右極限和該點的函式值沒有關心嗷，希望能幫到你，加油 可去間斷點 可去間斷點處左右極限相等，但函式值不等於這個極限，所以不連續。舉個例子 分段函式 y x x 0 y 1，x ...點x 0是函式f X xsin 1 x 的間斷點
為什麼導函式的間斷點只能為第二類間斷點？求答案
可去間斷點處左右極限相等，不就是函式在此點連續嗎？為什麼此點