1樓：匿名使用者
f(x)=∫dx/[(x^2)*((1+x^2)^(1/2))]設x=tant，則dx=sec²tdt，∵x∈[1,√3]，∴t∈[π/4,π/3]
∴f(x)=∫dx/[(x^2)*((1+x^2)^(1/2))] x∈[1,√3]
=∫sec²tdt/[tan²t*(1+tan²t)^(1/2)] t∈[π/4,π/3]
=∫sec²tdt/(tan²t*sect)=∫sectdt/tan²t
=∫(cos²t/sin²t)*(1/cost)*dt=∫(cost/sin²t)dt
=∫dsint/sin²t
=(-1/sint) t∈[π/4,π/3]=1/sin(π/4)-1/sin(π/3)=2/√2-2/√3
=(3√2-2√3)/3
希望對你有幫助
2樓：匿名使用者
解：原式=∫<π/4,π/3>sec²tdt/(tan²t*sect) (令x=tant)
=∫<π/4,π/3>costdt/sin²t=∫<π/4,π/3>d(sint)/sin²t=(-1/sint)│<π/4,π/3>
=√2-2√3/3。
求不定積分∫dx/x^2*(1+x^2)^(1/2)
3樓：匿名使用者
^^設 x = 1/t 則 dx= - t^(-2) dt分母 x^2 * (1+x^2)^(1/2) = t^(-2) * ( 1+1/ t^2 )^(1/2) = t^(-3) * (t^2 +1)^(1/2)
代入，得：
原式=∫ dx / [ x^2*(1+x^2)^(1/2) ]= - ∫ t dt / (1+t^2)^(1/2)
4樓：小飛花兒的憂傷
將x=1/t，dx = -dt/t^2帶進去就得到這題更快的做法是令x=sht（雙曲正弦函式）則原式 = 1/sh^2 t dt
= cht t
求定積分∫dx/(1+x^2)^2,其中積分上限是1,積分下限是-1,求詳細過程~ 5
5樓：丘冷萱
∫dx/(1+x^2)^2
令x=tanu，(1+x^2)=(secu)^2，dx=(secu)^2du
原式=∫ 1/(secu)^4*(secu)^2du=∫ (cosu)^2du
=1/2∫ (1+cos2u)du
=1/2u+1/4sin2u+c
=1/2u+1/2sinucosu+c
x=tanu，則sinu=x/√(1+x^2)，cosu=1/√(1+x^2)
=1/2arctanx+1/2*x/(1+x^2)將上下限代入相減得：π/2+1/2
6樓：林間路
∫dx/(1+x^2)^2dx=x/(2+2x^2)+∫1/(1+x^2)dx=x/(2+2x^2)+(1/2)arctanx+c
定積分=1/2+π/4
如圖，求不定積分∫1/[(1+x^2)^3/2]dx，請問圖中結果怎麼算來的，求詳細解題步驟。
7樓：匿名使用者
首先考慮換元法
令x=tant
則dx=(sect)^2 dt
所以原式=∫(sect)^(-3) * (sect)^2 dt'
=∫(sect)^(-1) dt
=∫cost dt
=sint + c
=tant / √(1+(tant)^2) + c=x/√(1+x^2) + c
擴充套件資料:性質：積分公式
注：以下的c都是指任意積分常數。
8樓：體育wo最愛
^∫[1/(1+x²)^(3/2)]dx
令x=tanθ
，則1+x²=1+tan²θ=sec²θ，dx=d(tanθ)=sec²θdθ
原式=∫[(1/sec³θ)·sec²θ]dθ=∫(1/secθ)dθ
=∫cosθdθ
=sinθ+c
因為tanθ=x，所以：sinθ=x/√(1+x²)所以原式=x/√(1+x²)+c
9樓：皮傑圈
嘴不饒人心必善,心不饒人嘴必甜;心善之人敢直言,嘴甜之人藏謎奸;寧交一幫抬
求1/(1+x^2)的不定積分
10樓：匿名使用者
解答過程如下：
擴充套件資料由定義可知：
求函式f(x)的不定積分，就是要求出f(x)的所有的原函式，由原函式的性質可知，只要求出函式f(x)的一個原函式，再加上任意的常數c就得到函式f(x)的不定積。
全體原函式之間只差任意常數c
證明：如果f(x)在區間i上有原函式，即有一個函式f(x)使對任意x∈i，都有f'(x)=f(x)，那麼對任何常數顯然也有[f(x)+c]'=f(x)。
即對任何常數c，函式f(x)+c也是f(x)的原函式。這說明如果f(x)有一個原函式,那麼f(x)就有無限多個原函式。
11樓：不是苦瓜是什麼
令x=tanθ
，-π/2<θ<π/2
即dx=secθ^2*dθ
則∫(1／√1+x^2)dx
=∫(1／√(1+tanθ^2)*secθ^2*dθ
=∫(1/cosθ)dθ
=∫[cosθ/(cosθ）^2]dθ
=∫1/[1-(sinθ)^2]d（sinθ)
=1/2*ln[（1-sinθ）/（1+sinθ)]+c
=ln[x+√(1+x^2)]+c（c為常數）
求1/根號(1+x^2) 的原函式就是求函式1/根號(1+x^2) 對x的積分。
求1/根號(1+x^2) 的原函式，用”三角替換”消掉根號(1+x^2)。
不定積分的公式
1、∫ a dx = ax + c，a和c都是常數
2、∫ x^a dx = [x^(a + 1)]/(a + 1) + c，其中a為常數且 a ≠ -1
3、∫ 1/x dx = ln|x| + c
4、∫ a^x dx = (1/lna)a^x + c，其中a > 0 且 a ≠ 1
5、∫ e^x dx = e^x + c
6、∫ cosx dx = sinx + c
7、∫ sinx dx = - cosx + c
8、∫ cotx dx = ln|sinx| + c = - ln|cscx| + c
9、∫ tanx dx = - ln|cosx| + c = ln|secx| + c
10、∫ secx dx =ln|cot(x/2)| + c
= (1/2)ln|(1 + sinx)/(1 - sinx)| + c
= - ln|secx - tanx| + c
= ln|secx + tanx| + c
12樓：特特拉姆咯哦
∫1/(1-x^2)dx
=1/2∫[1/(1-x)+1/(1+x)]dx=1/2[-ln(1-x)+ln(1+x)]+c=1/2ln[(1+x)/(1-x)]+c
13樓：茅山東麓
請參看本人中心的解法：
14樓：匿名使用者
這是基本公式。
不 要過程。
15樓：匿名使用者
因為(arc tgx)'=dx/(1+x^2) 所以∫dx/(1+x^2)=arc tgx+c
求定積分∫(上限根號3下限1/根號3)1/(1+x^2)dx
16樓：pasirris白沙
1、本題的積分方法是直接套用公式，積出來的原函式是arctanx；
2、然後代入上下限，得到結果 π/6；
3、具體解答過程如下，如有疑問、質疑，歡迎指出。
有問必答、有疑必釋、有錯必糾。
17樓：郜語糜翠梅
arctan3+arctan1,這個是基本的積分計算公式，是由arctanx推出倒數為1/1+x^2，y=arctanx就是tany=x這個隱函式。兩邊求導的y‘=（cosy）^2,假設一個三角形，一邊長為x,一邊長為1,x邊所對的角為y,那麼是不是有tany=x,則有cosy=1/根號1+x^2,那麼y'=1/(1+x^2).就這樣，自己畫圖！
18樓：薊婀千幻竹
^因為(arctanx)的導數是1/(1+x^2),所以∫dx/(1+x^2)=arctanx,又其下/上限為[-1，3^0.5]，根據定積分基本規則，可得該定積分=arctan(3^0.5)-arctan(-1)=π/3-(-π/4)=7π/12
19樓：鬱繡答育
令x＝tant，dx＝(sect)^2dt.
x＝0時t＝0，x＝1時，t＝π/4，所以∫(0，1)
dx/√[(1+x^2)^3]
＝∫(0，π/4)
cost
dt＝sin(π/4)
＝√2/2
定積分∫ (-x^2-2) / (x^2+x+1)^2 dx
20樓：116貝貝愛
^^結果為：u/(u^2+a^2)+2∫du/(u^2+a^2)-∫(2a^2)/(u^2+a^2)^2du
解題過程如下：
原式=∫du/(u^2+a^2)
=u/(u^2+a^2)-∫ud[1/(u^2+a^2)]
=u/(u^2+a^2)+∫2u^2/(u^2+a^2)^2du
=u/(u^2+a^2)+∫(2u^2+2a^2-2a^2)/(u^2+a^2)^2du
=u/(u^2+a^2)+2∫du/(u^2+a^2)-∫(2a^2)/(u^2+a^2)^2du
求函式積分的方法：
設f（x）是函式f（x）的一個原函式，我們把函式f（x）的所有原函式f（x）+c（c為任意常數）叫做函式f（x）的不定積分，記作，即∫f（x）dx=f（x）+c。
其中∫叫做積分號，f（x）叫做被積函式，x叫做積分變數，f（x）dx叫做被積式，c叫做積分常數，求已知函式不定積分的過程叫做對這個函式進行積分。
積分是微積分學與數學分析裡的一個核心概念。通常分為定積分和不定積分兩種。直觀地說，對於一個給定的實函式f（x），在區間[a，b]上的定積分記為：
若f（x）在[a,b]上恆為正，可以將定積分理解為在oxy座標平面上，由曲線（x，f（x））、直線x=a、x=b以及x軸圍成的面積值（一種確定的實數值）。
21樓：不是苦瓜是什麼
^^這是公式，是特殊解法：
∫du/(u^2+a^2)
=u/(u^2+a^2)-∫ud[1/(u^2+a^2)]
=u/(u^2+a^2)+∫2u^2/(u^2+a^2)^2du
=u/(u^2+a^2)+∫(2u^2+2a^2-2a^2)/(u^2+a^2)^2du
=u/(u^2+a^2)+2∫du/(u^2+a^2)-∫(2a^2)/(u^2+a^2)^2du
不定積分的公式
1、∫ a dx = ax + c，a和c都是常數
2、∫ x^a dx = [x^(a + 1)]/(a + 1) + c，其中a為常數且 a ≠ -1
3、∫ 1/x dx = ln|x| + c
4、∫ a^x dx = (1/lna)a^x + c，其中a > 0 且 a ≠ 1
5、∫ e^x dx = e^x + c
6、∫ cosx dx = sinx + c
7、∫ sinx dx = - cosx + c
8、∫ cotx dx = ln|sinx| + c = - ln|cscx| + c
9、∫ tanx dx = - ln|cosx| + c = ln|secx| + c
10、∫ secx dx =ln|cot(x/2)| + c
= (1/2)ln|(1 + sinx)/(1 - sinx)| + c
= - ln|secx - tanx| + c
= ln|secx + tanx| + c
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