1樓:匿名使用者
[-a,a] ∫ (x²-x)√(a²-x²) dx
=[-a,a] ∫ x²√(a²-x²) dx - [-a,a] ∫ x√(a²-x²) dx (後半部分是奇函式,在對稱區間的定積分為零)
=[0,a] 2 ∫ x²√(a²-x²) dx
=[0,a] 2 ∫ (a²-a²+x²)√(a²-x²) dx
=[0,a] 2 ∫ a²√(a²-x²) - (a²-x²)^(3/2) dx
= a²x√(a²-x²)+ a^4 arctan[x/√(a²-x²)] - ¼ x(5a²-2x²)√(a²-x²) - ¾ a^4 arctan[x/√(a²-x²)] | [0,a]
=¼ (2x²-a²)x√(a²-x²)+¼ a^4 arctan[x/√(a²-x²)] | [0,a]
=(x→a)lim¼ a^4 arctan[x/√(a²-x²)]
=(u→π/2)lim¼ u a^4 (令 x=asinu,則arctan[x/√(a²-x²)]=u)
=(πa^4)/8
2樓:匿名使用者
∫(-a→a) (x^2-x)√(a^2-x^2) dx= ∫(-a→a) x^2√(a^2-x^2) dx - ∫(-a→a) x√(a^2-x^2) dx
= 2∫(0→a) x^2√(a^2-x^2) dx - 0x=a*siny,dx=a*cosydy
= 2∫(0→π/2) a^2sin^2y*a^2cos^2y dy= 2a^4∫(0→π/2) 1/4*(sin2y)^2 dy= (a^4/2)∫(0→π/2) (1-cos4y) dy= (a^4/2)(y-1/4*sin4y)= (a^4/2)(π/2-0)
= a^4π/4
求1/根號下a^2-x^2 dx a>0的不定積分
3樓:我是一個麻瓜啊
∫1/√(a^2-x^2)dx (a>0)=arcsin(x/a)+c。c為積分常數。
分析過程如下:
∫1/√(a^2-x^2)dx (a>0)=∫1/dx
=∫1/√[1-(x/a)^2]d(x/a)=arcsin(x/a)+c
擴充套件資料:求不定積分的方法:
第一類換元其實就是一種拼湊,利用f'(x)dx=df(x);而前面的剩下的正好是關於f(x)的函式,再把f(x)看為一個整體,求出最終的結果。(用換元法說,就是把f(x)換為t,再換回來)。
分部積分,就那固定的幾種型別,無非就是三角函式乘上x,或者指數函式、對數函式乘上一個x這類的,記憶方法是把其中一部分利用上面提到的f‘(x)dx=df(x)變形,再用∫xdf(x)=f(x)x-∫f(x)dx這樣的公式,當然x可以換成其他g(x)。
常用積分公式:
1)∫0dx=c
2)∫x^udx=(x^(u+1))/(u+1)+c3)∫1/xdx=ln|x|+c
4)∫a^xdx=(a^x)/lna+c
5)∫e^xdx=e^x+c
6)∫sinxdx=-cosx+c
7)∫cosxdx=sinx+c
8)∫1/(cosx)^2dx=tanx+c9)∫1/(sinx)^2dx=-cotx+c10)∫1/√(1-x^2) dx=arcsinx+c
4樓:匿名使用者
∫1/√(a^2-x^2)dx (a>0)=∫1/dx
=∫1/√[1-(x/a)^2]d(x/a)=arcsin(x/a)+c
注:^2——表示平方。
5樓:匿名使用者
x = asinθ、dx = acosθ dθ
∫[0→a] dx/[x + √(a² - x²)]
= ∫[0→π/2] acosθ/[asinθ + acosθ] dθ
= (1/2)∫[0→π/2] 2cosθ/[sinθ + cosθ] dθ
= (1/2)∫[0→π/2] [(sinθ + cosθ) - (sinθ - cosθ)]/(sinθ + cosθ) dθ
= (1/2)∫[0→π/2] dθ - (1/2)∫[0→π/2] d(- cosθ - sinθ)/(sinθ + cosθ)
= θ/2 |[0→π/2] + (1/2)∫ d(sinθ + cosθ)/(sinθ + cosθ)
= π/4 + (1/2)ln[sinθ + cosθ] |[0→π/2]
= π/4 + (1/2)
= π/4
6樓:夏小紙追
^繞x軸:
體積為y=2-x^2繞x旋轉的體積減去y=x^2繞x軸旋轉轉的體積v=2[∫pi*(2-x^2)^2dx-∫pi*(x^2)^2dx] 積分下限為0,上限為1,積分割槽間對稱,所以用2倍0,1區間上的
=pi*8/3
繞y軸:
2條曲線的交點為(-1,1),(1,1)
v=∫pi*ydy+∫pi*(y-2)dy第一個積分上下限為0,1,第二個積分上下限為1,2=pi
7樓:匿名使用者
這不是書上公式有的嗎?
=arcsin(x/a)+c
求定積分(0,a)x^2根號(a^2-x^2)(a>0),要步驟謝謝
8樓:匡匡
對y=根號下a^2-x^2求導,兩邊平方,整理得x^2+y^2=a^2,又因為a>0,從0到a積分,就是求以(0,0)為圓心,半徑為a的上半圓的面積,就是二分之一×πa^2
求不定積分∫x^2/根號下(x^2+a^2) dx (a>0) 10
9樓:匿名使用者
^^^∫x^2/√(a^2+x^2)dx
=∫(x^2+a^2-a^2)/√(a^2+x^2)dx
=∫√(x^2+a^2)dx-a^2∫dx/√(a^2+x^2)
=x√(x^2+a^2)- ∫x√d(x^2+a^2)dx-a^2arsh(x/a)
= x√(x^2+a^2)- ∫x^2dx/√(x^2+a^2)-a^2(ln(x/a+√(1+(x/a)^2)),
2∫x^2dx/√(x^2+a^2)= x√(x^2+a^2)-a^2,
∴∫x^2dx/√(a^2+x^2)= x√(a^2+x^2)/2-a^2ln[x+√(a^2+x^2)]/2+c
這裡用到分部積分和反雙曲正弦函式arshx。
10樓:匿名使用者
^^∫[x^2/√(x^2+a^2)]dx
=∫dx
=a∫d(x/a)
=(1/2)a(x/a)^2-a*arctan(x/a)+c=[1/(2a)]x^2-a*arctan(x/a)+c
11樓:匿名使用者
作代換x=sht,或者x=tant,然後就會化的很簡單(注意前一種方法中(sht)^2可以化成(ch2t-1)/2)
∫[a,0]x^2·根號(a^2-x^2)dx求定積分 10
12樓:匿名使用者
(0,a) ∫x²√(a²-x²) dx
原式=(0,a)∫(ax²√[1-(x/a)²]dx
令x/a=sint,則dx=acostdt,x=0時,t=0;x=a時,t=π
版/2.
故原式=(0,π/2)a⁴∫sin²tcos²tdt=(0,π/2)(a⁴/4)∫sin²(2t)dt=(0,π/2)(a⁴/8)∫sin²(2t)d(2t)
=(0,π/2)(a⁴/16)∫[(1-cos4t)/2]d(4t)=(0,π/2)(a⁴/32)∫[(1-cos4t)d(4t)
=[(a⁴/32)(4t-sin4t)](0,π/2)=(a⁴/32)×(2π)=πa⁴/16
常用積分公式:權
1)∫0dx=c
2)∫x^udx=(x^(u+1))/(u+1)+c
3)∫1/xdx=ln|x|+c
4)∫a^xdx=(a^x)/lna+c
5)∫e^xdx=e^x+c
6)∫sinxdx=-cosx+c
7)∫cosxdx=sinx+c
13樓:愛娜娜的小雪梨
令x=√
2sina則dx=√2cosada√(2-x²)=cosax=0,a=0x=√2,a=π
版/2所以原式=∫權(0-π/2)2sin²a*cosa*√2cosada=∫(0-π/2)2√2sin²acos²ada=√2/2*∫(0-π/2)sin²2ada=√2/4*∫(0-π/2)(1-cos2a)/2d2a=√2/4(2a-sin2a)/2(0-π/2)=√2/4*(π-0)=π√2/4
14樓:茹翊神諭者
詳情如圖所示
有任何疑惑,歡迎追問
求x^2*(根號下a^2-x^2)dx的定積分 上限a,下限0 (a>0) 答案為 十六分之a的四次派,求過程。謝謝。
15樓:匿名使用者
x = asinz,dx = acosz dz∫(0→a) x²√[a² - x²] dx= ∫(0→π/2) [a²sin²z][acosz][acosz] dz
= a⁴∫(0→π/2) sin²zcos²z dz= a⁴∫(0→π/2) [(1/2)sin2z]² dz= [a⁴/4]∫(0→π/2) sin²2z dz= [a⁴/4]∫(0→π/2) [(1 - cos4z)/2] dz
= [a⁴/8][z - (1/4)sin4z] |(0→π/2)= [a⁴/8][π/2 - (1/4)(0)]= a⁴π/16
根號下 x 2 p 2 dx求積分
你愛我媽呀 令x ptanz,dx psec zdz 原式 psecz psec zdz p seczdtanz p secztanz p tanzdsecz p secztanz p tanz secztanz dz p secztpnz p sec z dz p seczdz 2 sec zdz...
求定積分ln 1 x2 x 2dx 上限1,下
季成佟橋 先用對數函式的性質把原式變為 ln 1 x dx 2 ln 2 x dx而lnx的積分為ln x x x c 這樣上面的不定積分就可以求解了吧 具體的步驟 我就不寫了 暈,怎麼不寫清楚?利用分部積分法.原式 ln 1 x 1 2 x 1 1 x 1 2 x dx ln 1 x 1 2 x ...
求x根號(2x x 2)的不定積分
換元法則計算x 1 sinu x 1 x 1 dx 1 sinu cos u cos2u 1 2 cos udcosu sin2u 4 u 2 cos u 3 c不定積分的公式 1 a dx ax c,a和c都是常數2 x a dx x a 1 a 1 c,其中a為常數且 a 1 3 1 x dx ...