求定積分 f a,a x 2 x 根號下(a 2 x

時間 2021-08-30 10:56:37

1樓:匿名使用者

[-a,a] ∫ (x²-x)√(a²-x²) dx

=[-a,a] ∫ x²√(a²-x²) dx - [-a,a] ∫ x√(a²-x²) dx (後半部分是奇函式,在對稱區間的定積分為零)

=[0,a] 2 ∫ x²√(a²-x²) dx

=[0,a] 2 ∫ (a²-a²+x²)√(a²-x²) dx

=[0,a] 2 ∫ a²√(a²-x²) - (a²-x²)^(3/2) dx

= a²x√(a²-x²)+ a^4 arctan[x/√(a²-x²)] - ¼ x(5a²-2x²)√(a²-x²) - ¾ a^4 arctan[x/√(a²-x²)] | [0,a]

=¼ (2x²-a²)x√(a²-x²)+¼ a^4 arctan[x/√(a²-x²)] | [0,a]

=(x→a)lim¼ a^4 arctan[x/√(a²-x²)]

=(u→π/2)lim¼ u a^4 (令 x=asinu,則arctan[x/√(a²-x²)]=u)

=(πa^4)/8

2樓:匿名使用者

∫(-a→a) (x^2-x)√(a^2-x^2) dx= ∫(-a→a) x^2√(a^2-x^2) dx - ∫(-a→a) x√(a^2-x^2) dx

= 2∫(0→a) x^2√(a^2-x^2) dx - 0x=a*siny,dx=a*cosydy

= 2∫(0→π/2) a^2sin^2y*a^2cos^2y dy= 2a^4∫(0→π/2) 1/4*(sin2y)^2 dy= (a^4/2)∫(0→π/2) (1-cos4y) dy= (a^4/2)(y-1/4*sin4y)= (a^4/2)(π/2-0)

= a^4π/4

求1/根號下a^2-x^2 dx a>0的不定積分

3樓:我是一個麻瓜啊

∫1/√(a^2-x^2)dx (a>0)=arcsin(x/a)+c。c為積分常數。

分析過程如下:

∫1/√(a^2-x^2)dx (a>0)=∫1/dx

=∫1/√[1-(x/a)^2]d(x/a)=arcsin(x/a)+c

擴充套件資料:求不定積分的方法:

第一類換元其實就是一種拼湊,利用f'(x)dx=df(x);而前面的剩下的正好是關於f(x)的函式,再把f(x)看為一個整體,求出最終的結果。(用換元法說,就是把f(x)換為t,再換回來)。

分部積分,就那固定的幾種型別,無非就是三角函式乘上x,或者指數函式、對數函式乘上一個x這類的,記憶方法是把其中一部分利用上面提到的f‘(x)dx=df(x)變形,再用∫xdf(x)=f(x)x-∫f(x)dx這樣的公式,當然x可以換成其他g(x)。

常用積分公式:

1)∫0dx=c

2)∫x^udx=(x^(u+1))/(u+1)+c3)∫1/xdx=ln|x|+c

4)∫a^xdx=(a^x)/lna+c

5)∫e^xdx=e^x+c

6)∫sinxdx=-cosx+c

7)∫cosxdx=sinx+c

8)∫1/(cosx)^2dx=tanx+c9)∫1/(sinx)^2dx=-cotx+c10)∫1/√(1-x^2) dx=arcsinx+c

4樓:匿名使用者

∫1/√(a^2-x^2)dx (a>0)=∫1/dx

=∫1/√[1-(x/a)^2]d(x/a)=arcsin(x/a)+c

注:^2——表示平方。

5樓:匿名使用者

x = asinθ、dx = acosθ dθ

∫[0→a] dx/[x + √(a² - x²)]

= ∫[0→π/2] acosθ/[asinθ + acosθ] dθ

= (1/2)∫[0→π/2] 2cosθ/[sinθ + cosθ] dθ

= (1/2)∫[0→π/2] [(sinθ + cosθ) - (sinθ - cosθ)]/(sinθ + cosθ) dθ

= (1/2)∫[0→π/2] dθ - (1/2)∫[0→π/2] d(- cosθ - sinθ)/(sinθ + cosθ)

= θ/2 |[0→π/2] + (1/2)∫ d(sinθ + cosθ)/(sinθ + cosθ)

= π/4 + (1/2)ln[sinθ + cosθ] |[0→π/2]

= π/4 + (1/2)

= π/4

6樓:夏小紙追

^繞x軸:

體積為y=2-x^2繞x旋轉的體積減去y=x^2繞x軸旋轉轉的體積v=2[∫pi*(2-x^2)^2dx-∫pi*(x^2)^2dx] 積分下限為0,上限為1,積分割槽間對稱,所以用2倍0,1區間上的

=pi*8/3

繞y軸:

2條曲線的交點為(-1,1),(1,1)

v=∫pi*ydy+∫pi*(y-2)dy第一個積分上下限為0,1,第二個積分上下限為1,2=pi

7樓:匿名使用者

這不是書上公式有的嗎?

=arcsin(x/a)+c

求定積分(0,a)x^2根號(a^2-x^2)(a>0),要步驟謝謝

8樓:匡匡

對y=根號下a^2-x^2求導,兩邊平方,整理得x^2+y^2=a^2,又因為a>0,從0到a積分,就是求以(0,0)為圓心,半徑為a的上半圓的面積,就是二分之一×πa^2

求不定積分∫x^2/根號下(x^2+a^2) dx (a>0) 10

9樓:匿名使用者

^^^∫x^2/√(a^2+x^2)dx

=∫(x^2+a^2-a^2)/√(a^2+x^2)dx

=∫√(x^2+a^2)dx-a^2∫dx/√(a^2+x^2)

=x√(x^2+a^2)- ∫x√d(x^2+a^2)dx-a^2arsh(x/a)

= x√(x^2+a^2)- ∫x^2dx/√(x^2+a^2)-a^2(ln(x/a+√(1+(x/a)^2)),

2∫x^2dx/√(x^2+a^2)= x√(x^2+a^2)-a^2,

∴∫x^2dx/√(a^2+x^2)= x√(a^2+x^2)/2-a^2ln[x+√(a^2+x^2)]/2+c

這裡用到分部積分和反雙曲正弦函式arshx。

10樓:匿名使用者

^^∫[x^2/√(x^2+a^2)]dx

=∫dx

=a∫d(x/a)

=(1/2)a(x/a)^2-a*arctan(x/a)+c=[1/(2a)]x^2-a*arctan(x/a)+c

11樓:匿名使用者

作代換x=sht,或者x=tant,然後就會化的很簡單(注意前一種方法中(sht)^2可以化成(ch2t-1)/2)

∫[a,0]x^2·根號(a^2-x^2)dx求定積分 10

12樓:匿名使用者

(0,a) ∫x²√(a²-x²) dx

原式=(0,a)∫(ax²√[1-(x/a)²]dx

令x/a=sint,則dx=acostdt,x=0時,t=0;x=a時,t=π

版/2.

故原式=(0,π/2)a⁴∫sin²tcos²tdt=(0,π/2)(a⁴/4)∫sin²(2t)dt=(0,π/2)(a⁴/8)∫sin²(2t)d(2t)

=(0,π/2)(a⁴/16)∫[(1-cos4t)/2]d(4t)=(0,π/2)(a⁴/32)∫[(1-cos4t)d(4t)

=[(a⁴/32)(4t-sin4t)](0,π/2)=(a⁴/32)×(2π)=πa⁴/16

常用積分公式:權

1)∫0dx=c

2)∫x^udx=(x^(u+1))/(u+1)+c

3)∫1/xdx=ln|x|+c

4)∫a^xdx=(a^x)/lna+c

5)∫e^xdx=e^x+c

6)∫sinxdx=-cosx+c

7)∫cosxdx=sinx+c

13樓:愛娜娜的小雪梨

令x=√

2sina則dx=√2cosada√(2-x²)=cosax=0,a=0x=√2,a=π

版/2所以原式=∫權(0-π/2)2sin²a*cosa*√2cosada=∫(0-π/2)2√2sin²acos²ada=√2/2*∫(0-π/2)sin²2ada=√2/4*∫(0-π/2)(1-cos2a)/2d2a=√2/4(2a-sin2a)/2(0-π/2)=√2/4*(π-0)=π√2/4

14樓:茹翊神諭者

詳情如圖所示

有任何疑惑,歡迎追問

求x^2*(根號下a^2-x^2)dx的定積分 上限a,下限0 (a>0) 答案為 十六分之a的四次派,求過程。謝謝。

15樓:匿名使用者

x = asinz,dx = acosz dz∫(0→a) x²√[a² - x²] dx= ∫(0→π/2) [a²sin²z][acosz][acosz] dz

= a⁴∫(0→π/2) sin²zcos²z dz= a⁴∫(0→π/2) [(1/2)sin2z]² dz= [a⁴/4]∫(0→π/2) sin²2z dz= [a⁴/4]∫(0→π/2) [(1 - cos4z)/2] dz

= [a⁴/8][z - (1/4)sin4z] |(0→π/2)= [a⁴/8][π/2 - (1/4)(0)]= a⁴π/16

根號下 x 2 p 2 dx求積分

你愛我媽呀 令x ptanz,dx psec zdz 原式 psecz psec zdz p seczdtanz p secztanz p tanzdsecz p secztanz p tanz secztanz dz p secztpnz p sec z dz p seczdz 2 sec zdz...

求定積分ln 1 x2 x 2dx 上限1,下

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