1樓：憂愁絲雨
偏微分方程的起源
如果一個微分方程中出現的未知函式只含一個自變數，這個方程叫做常微分方程，也簡稱微分方程；如果一個微分方程中出現多元函式的偏導數，或者說如果未知函式和幾個變數有關，而且方程中出現未知函式對幾個變數的導數，那麼這種微分方程就是偏微分方程。
在科學技術日新月異的發展過程中，人們研究的許多問題用一個自變數的函式來描述已經顯得不夠了，不少問題有多個變數的函式來描述。比如，從物理角度來說，物理量有不同的性質，溫度、密度等是用數值來描述的叫做純量；速度、電場的引力等，不僅在數值上有不同，而且還具有方向，這些量叫做向量；物體在一點上的張力狀態的描述出的量叫做張量，等等。這些量不僅和時間有關係，而且和空間座標也有聯絡，這就要用多個變數的函式來表示。
應該指出，對於所有可能的物理現象用某些多個變數的函式表示，只能是理想化的，如介質的密度，實際上“在一點”的密度是不存在的。而我們把在一點的密度看作是物質的質量和體積的比當體積無限縮小的時候的極限，這就是理想化的。介質的溫度也是這樣。
這樣就產生了研究某些物理現象的理想了的多個變數的函式方程，這種方程就是偏微分方程。
微積分方程這門學科產生於十八世紀，尤拉在他的著作中最早提出了弦振動的二階方程，隨後不久，法國數學家達朗貝爾也在他的著作《論動力學》中提出了特殊的偏微分方程。這些著作當時沒有引起多大注意。2023年，達朗貝爾在他的**《張緊的弦振動時形成的曲線的研究》中，提議證明無窮多種和正弦曲線不同的曲線是振動的模式。
這樣就由對弦振動的研究開創了偏微分方程這門學科。
和尤拉同時代的瑞士數學家丹尼爾·貝努利也研究了數學物理方面的問題，提出瞭解彈性系振動問題的一般方法，對偏微分方程的發展起了比較大的影響。拉格朗日也討論了一階偏微分方程，豐富了這門學科的內容。
偏微分方程得到迅速發展是在十九世紀，那時候，數學物理問題的研究繁榮起來了，許多數學家都對數學物理問題的解決做出了貢獻。這裡應該提一提法國數學家傅立葉，他年輕的時候就是一個出色的數學學者。在從事熱流動的研究中，寫出了《熱的解析理論》，在文章中他提出了三維空間的熱方程，也就是一種偏微分方程。
他的研究對偏微分方程的發展的影響是很大的。
偏微分方程的內容
偏微分方程是什麼樣的？它包括哪些內容？這裡我們可從一個例子的研究加以介紹。
弦振動是一種機械運動，當然機械運動的基本定律是質點力學的 f=ma，但是弦並不是質點，所以質點力學的定律並不適用在弦振動的研究上。然而，如果我們把弦細細地分成若干個極小極小的小段，每一小段抽象地看作是一個質點，這樣我們就可以應用質點力學的基本定律了。
弦是指又細又長的彈性物質，比如絃樂器所用的弦就是細長的、柔軟的、帶有彈性的。演奏的時候，弦總是繃緊著具有一種張力，這種張力大於弦的重量幾萬倍。當演奏的人用薄片撥動或者用弓在弦上拉動，雖然只因其所接觸的一段弦振動，但是由於張力的作用，傳播到使整個弦振動起來。
用微分的方法分析可得到弦上一點的位移是這一點所在的位置和時間為自變數的偏微分方程。偏方程又很多種型別，一般包括橢圓型偏微分方程、拋物型偏微分方程、雙曲型偏微分方程。上述的例子是弦振動方程，它屬於數學物理方程中的波動方程，也就是雙曲型偏微分方程。
偏微分方程的解一般有無窮多個，但是解決具體的物理問題的時候，必須從中選取所需要的解，因此，還必須知道附加條件。因為偏微分方程是同一類現象的共同規律的表示式，僅僅知道這種共同規律還不足以掌握和了解具體問題的特殊性，所以就物理現象來說，各個具體問題的特殊性就在於研究物件所處的特定條件，就是初始條件和邊界條件。
拿上面所舉的弦振動的例子來說，對於同樣的弦的絃樂器，如果一種是以薄片撥動弦，另一種是以弓在弦上拉動，那麼它們發出的聲音是不同的。原因就是由於“撥動”或“拉動”的那個“初始”時刻的振動情況不同，因此產生後來的振動情況也就不同。
天文學中也有類似情況，如果要通過計算預言天體的運動，必須要知道這些天體的質量，同時除了牛頓定律的一般公式外，還必須知道我們所研究的天體系統的初始狀態，就是在某個起始時間，這些天體的分佈以及它們的速度。在解決任何數學物理方程的時候，總會有類似的附加條件。
就弦振動來說，弦振動方程只表示弦的內點的力學規律，對弦的端點就不成立，所以在弦的兩端必須給出邊界條件，也就是考慮研究物件所處的邊界上的物理狀況。邊界條件也叫做邊值問題。
當然，客觀實際中也還是有“沒有初始條件的問題”，如定場問題（靜電場、穩定濃度分佈、穩定溫度分佈等），也有“沒有邊界條件的問題”，如著重研究不靠近兩端的那段弦，就抽象的成為無邊界的弦了。
在數學上，初始條件和邊界條件叫做定解條件。偏微分方程本身是表達同一類物理現象的共性，是作為解決問題的依據；定解條件卻反映出具體問題的個性，它提出了問題的具體情況。方程和定解條件合而為一體，就叫做定解問題。
求偏微分方程的定解問題可以先求出它的通解，然後再用定解條件確定出函式。但是一般來說，在實際中通解是不容易求出的，用定解條件確定函式更是比較困難的。
偏微分方程的解法還可以用分離係數法，也叫做傅立葉級數；還可以用分離變數法，也叫做傅立葉變換或傅立葉積分。分離係數法可以求解有界空間中的定解問題，分離變數法可以求解無界空間的定解問題；也可以用拉普拉斯變換法去求解一維空間的數學物理方程的定解。對方程實行拉普拉斯變換可以轉化成常微分方程，而且初始條件也一併考慮到，解出常微分方程後進行反演就可以了。
應該指出，偏微分方程的定解雖然有以上各種解法，但是我們不能忽視由於某些原因有許多定解問題是不能嚴格解出的，只可以用近似方法求出滿足實際需要的近似程度的近似解。
常用的方法有變分法和有限差分法。變分法是把定解問題轉化成變分問題，再求變分問題的近似解；有限差分法是把定解問題轉化成代數方程，然後用計算機進行計算；還有一種更有意義的模擬法，它用另一個物理的問題實驗研究來代替所研究某個物理問題的定解。雖然物理現象本質不同，但是抽象地表示在數學上是同一個定解問題，如研究某個不規則形狀的物體裡的穩定溫度分佈問題，在數學上是拉普拉斯方程的邊值問題，由於求解比較困難，可作相應的靜電場或穩恆電流場實驗研究，測定場中各處的電勢，從而也解決了所研究的穩定溫度場中的溫度分佈問題。
隨著物理科學所研究的現象在廣度和深度兩方面的擴充套件，偏微分方程的應用範圍更廣泛。從數學自身的角度看，偏微分方程的求解促使數學在函式論、變分法、級數、常微分方程、代數、微分幾何等各方面進行發展。從這個角度說，偏微分方程變成了數學的中心。
其它數學分支學科
算術、初等代數、高等代數、數論、歐式幾何、非歐幾何、解析幾何、微分幾何、代數幾何學、射影幾何學、拓撲學、分形幾何、微積分學、實變函式論、概率和數理統計、複變函式論、泛函分析、偏微分方程、常微分方程、數理邏輯、模糊數學、運籌學、計算數學、突變理論、數學物理學
2樓：
偏微分方程是什麼 什麼時候學？
3樓：匿名使用者
如果一個微分方bai程中出現du
的未知函式只含一zhi個自變數，這個方程叫做dao常微分方程內，也簡稱微分方程容
；如果一個微分方程中出現多元函式的偏導數，或者說如果未知函式和幾個變數有關，而且方程中出現未知函式對幾個變數的導數，那麼這種微分方程就是偏微分方程。
是微積分的深入知識，只要學過微積分的知識（包括對有多個自變數的偏微分），你想什麼時候學就什麼時候學。如函式f(x,y)=x^2+y^2 對f'x=2x f'y=2y f''xx=2 f''yy=2 由這些可構一個方程
(f'x/f''xx)^2+(f'y/f''yy)^2=f f(x,y)=x^2+y^2 就是這個偏微分方程的一個解。這只是舉個例子。偏微分方程的解是很複雜的，有時比方程還複雜。
大部分常見方程都是由物理上得來，如果能列出一個有物理意義的新方程，基本上就可建立一門新的物理學科。
你從最簡單的偏微分方程學，再學複雜的，現在你只要理解薛定諤的偏微分方程解的物理意義就可，就是研究生，不是專門研究這方面的，薛定諤的偏微分方程也不一定能明白。可以說他的解比方程還複雜。
4樓：匿名使用者
就是比微積分**得多的方程
我高中讀完了沒涉及
所以只能是大學的高數了
什麼是常微分方程?偏微分方程?舉個例子
5樓：臺溶荀浩思
凡含有引數,未知函式和未知函式導數 (或微分) 的方程,稱為微分方程,有時簡稱為方程,未知函式是一元函式的微分方程稱作常微分方程,未知數是多元函式的微分方程稱作偏微分方程.微分方程中出現的未知函式最高階導數的階數,稱為微分方程的階.定義式如下：
f(x, y, y¢, ., y(n)) = 0 定義2 任何代入微分方程後使其成為恆等式的函式,都叫做該方程的解.若微分方程的解中含有任意常數的個數與方程的階數相同,且任意常數之間不能合併,則稱此解為該方程的通解(或一般解).
當通解中的各任意常數都取特定值時所得到的解,稱為方程的特解. 一般地說,n 階微分方程的解含有 n個任意常數.也就是說,微分方程的解中含有任意常數的個數和方程的階數相同,這種解叫做微分方程的通解.
通解構成一個函式族. 如果根據實際問題要求出其中滿足某種指定條件的解來,那麼求這種解的問題叫做定解問題,對於一個常微分方程的滿足定解條件的解叫做特解.對於高階微分方程可以引入新的未知函式,把它化為多個一階微分方程組.
常微分方程
常微分方程的概念、解法、和其它理論很多,比如,方程和方程組的種類及解法、解的存在性和唯一性、奇解、定性理論等等.下面就方程解的有關幾點簡述一下,以瞭解常微分方程的特點. 求通解在歷史上曾作為微分方程的主要目標,一旦求出通解的表示式,就容易從中得到問題所需要的特解.
也可以由通解的表示式,瞭解對某些引數的依賴情況,便於引數取值適宜,使它對應的解具有所需要的效能,還有助於進行關於解的其他研究. 後來的發展表明,能夠求出通解的情況不多,在實際應用中所需要的多是求滿足某種指定條件的特解.當然,通解是有助於研究解的屬性的,但是人們已把研究重點轉移到定解問題上來.
一個常微分方程是不是有特解呢?如果有,又有幾個呢?這是微分方程論中一個基本的問題,數學家把它歸納成基本定理,叫做存在和唯一性定理.
因為如果沒有解,而我們要去求解,那是沒有意義的；如果有解而又不是唯一的,那又不好確定.因此,存在和唯一性定理對於微分方程的求解是十分重要的. 大部分的常微分方程求不出十分精確的解,而只能得到近似解.
當然,這個近似解的精確程度是比較高的.另外還應該指出,用來描述物理過程的微分方程,以及由試驗測定的初始條件也是近似的,這種近似之間的影響和變化還必須在理論上加以解決.
常微分方程例項
下下列方程都是微分方程 (其中 y, v, q 均為未知函式). (1) y= kx, k 為常數； (2) ( y - 2xy) dx + x2 dy = 0； (3) mv(t) = mg - kv(t)；
如果一個微分方程中出現的未知函式只含一個自變數,這個方程叫做常微分方程,也簡稱微分方程；如果一個微分方程中出現多元函式的偏導數,或者說如果未知函式和幾個變數有關,而且方程中出現未知函式對幾個變數的導數,那麼這種微分方程就是偏微分方程.
偏微分方程分類比較繁瑣,解法多樣.建議找一本偏微分方程的教材來看看.會對你有很大幫助
matlab pdepe求解偏微分方程
喝酸奶的一花 這個問題和matlab的示例問題差不多，只要對c,f,s修改一下，同時有一點，t不能從0開始，不然有bug，所以設定了一個很小的數開始，結果都是差不多的 function slove pdepe m 0 x linspace 0,1,20 t linspace 8e 32,2,5 so...
方程的型別是哪幾個，偏微分方程的三種型別都是描述什麼的
方程的型別有很多很多種。具體可分為 按未知數個數來劃分，可劃分為一元方程 二元方程 三元方程 其中，只有一元方程可能有乙個解，而多元方程一般都會有無數個解或無解 一元方程也有無解或有無數個解的情況 按方程對應的函式圖象在其定義域內的連續性來劃分，可劃分為初等方程和高等方程。其中，初等方程對應的函式圖...
什麼是非線性常微分方程
對於一階微分方程,形如 y p x y q x 0 的稱為 線性 例如 y sin x y是線性的 但y y 2不是線性的 注意兩點 1 y 前的係數不能含y,但可以含x,如 y y 2 不是線性的 x y 2 是線性的 2 y前的係數也不能含y,但可以含x,如 y sin x y 是線性的 y s...