1樓：永丶不悔頭
例子：證明根號2是無理數。
證明：若根號2是有理數，則設它等於m/n（m、n為不為零的整數，m、n互質）
所以 （m/n）^2=根號2 ^2 =2
所以 m^2/n^2=2
所以 m^2=2*n^2
所以 m^2是偶數，設m=2k（k是整數）所以 m^2=4k^2=2n^2
所以 n^2=2k^2
所以 n是偶數
因為 m、n互質
所以 矛盾
所以 根號2不是有理數，它是無理數。
2樓：新新難新
任何乙個有理數都可以在數軸上表示。
有理數包括(整數,有限小數,無限迴圈小數)
無理數指無限不迴圈小數
特別要注意的是無限迴圈小數 很多人常誤以為它屬於無理數
等到了高中==
有理數包括：
1）自然數：數0，1，2，3，……叫做自然數。
2）正數：比0大的數叫做正數。
3）負數：在正數前面加上「—」（讀作「負」）號的數叫做負數。負數都小於0。
4）整數：正整數、0、負整數統稱為整數。
5）分數：正分數、負分數統稱為分數。
6）奇數：不是2的倍數的整數叫做奇數。如-3，-1，1，5等。所有的奇數都可用2n-1或2n+1表示，n為整數。
7）偶數：是2的倍數的整數叫做偶數。如-2，0，4，8等。所有的偶數都可用2n表示，n為整數。
8）質數：如果乙個大於1的整數，除了1和它本身外，沒有其他因數，這個數就稱為質數，又稱素數，如2，3，11，13等。2是最小的質數。
9）合數：如果乙個大於1的整數，除了1和它本身外，還有其他因數，這個數就稱為合數，如4，6，9，15等。4是最小的合數。
10）互質數：如果兩個正整數，除了1以外沒有其他因數，這兩個整數稱為互質數，如2和5，9和13等。 …… 如3，-98.
11，5.72727272……，7/22都是有理數。
全體有理數構成乙個集合，即有理數集，用粗體字母q表示，較現代的一些數學書則用空心字母q表示。
有理數集是實數集的子集。相關的內容見數系的擴張。
有理數集是乙個域，即在其中可進行四則運算（0作除數除外），而且對於這些運算，以下的運算律成立（a、b、c等都表示任意的有理數）：
①加法的交換律 a+b=b+a；
②加法的結合律 a+(b+c)=(a+b)+c；
③存在數0，使 0+a=a+0=a；
④對任意有理數a，存在乙個加法逆元，記作-a，使a+(-a)=(-a)+a=0；
⑤乘法的交換律 ab=ba；
⑥乘法的結合律 a(bc)=(ab)c；
⑦乘法的分配律 a(b+c)=ab+ac。
存在乘法的單位元1≠0，使得對任意有理數a，1a=a；
對於不為0的有理數a，存在乘法逆元1/a，使a(1/a)=(1/a)a=1。
0a＝0 文字解釋：乙個數乘0還等於0。
此外，有理數是乙個序域，即在其上存在乙個次序關係≤。 0的絕對值還是0.
有理數還是乙個阿基公尺德域，即對有理數a和b，a≥0，b>0，必可找到乙個自然數n，使nb>a。由此不難推知，不存在最大的有理數。
值得一提的是有理數的名稱。「有理數」這一名稱不免叫人費解，有理數並不比別的數更「有道理」。事實上，這似乎是乙個翻譯上的失誤。
有理數一詞是從西方傳來，在英語中是（rational number），而（rational）通常的意義是「理性的」。中國在近代翻譯西方科學著作，依據日語中的翻譯方法，以訛傳訛，把它譯成了「有理數」。但是，這個詞**於古希臘，其英文詞根為（ratio），就是比率的意思（這裡的詞根是英語中的，希臘語意義與之相同）。
所以這個詞的意義也很顯豁，就是整數的「比」。與之相對，而「無理數」就是不能精確表示為兩個整數之比的數，而並非沒有道理。
3樓：匿名使用者
只要可以證明出這個數可用分數的形式表示，並且分子分母都是有理數
4樓：匿名使用者
這個很難的。需要引入數域的概念。
數域是在大學才會接觸到的。
證明是有理數，而且在乙個封閉的數域z內部，所有的運算（加減乘除），所得到的結果都在數域z的內部，才可以。
所以是有一定難度係數。邏輯要求是比較高的。
5樓：匿名使用者
應該說，證明或否定乙個數x是有理數，沒有固定的辦法，必須就事論事。
最初等的辦法，就是設x是個有理數，例如x=m/n，m是整數，n是正整數（m的正負與x相同），且m和n互質。由此去推理，如果能求出m和n，則x是有理數；如果推出矛盾，則x是無理數。
例如√2的無理性就是這麼證明的（兩邊平方，……，發現m和n又有公因子了），我們都會了。
再比如，像0.101001000100001...這個數的無理性，我們是設它的迴圈節有n位來匯出矛盾的。
然而，此方法並不是萬能的。例如π和e（自然對數的底）的無理性，用上述辦法證明是幾乎不可能的。所以它們的無理性都有各自的證法。
再比如，e^π（e的π次方）這個數，是否是無理數爭議了很久。就是因為無法去證明或否定。
事實上，無理數遠比想象的多，不存在乙個一般的證法去證明或否定一切數是否是有理數。
6樓：匿名使用者
有理數分為整數和分數
如何判斷乙個數是無理數還是有理數？
7樓：匿名使用者
常見無理數：
1. √n, n不是完全平方數。
如：√2,√3,√5,√6,...
2. 三次根號n, n不是完全立方數。
3. π。
4. 有一定規律的無理數。
如：1.101001000... (1後面的0個數逐次遞增。)0.123456789101112...
0.10010001... (1前面0個數逐次遞增。)5. 無理數+有理數=無理數。
如：√2+1, π+2, ... ...
6. 無理數 x 非零有理數 =無理數。
如：2√2, 3π, ...
= = = = = = = = =
等你到了高中，會接觸更多的無理數。
比如：sin 1度, e, lg2, ln2, ... ...
8樓：匿名使用者
無理數與有理數的區別
1、把有理數和無理數都寫成小數形式時，有理數能寫成整數、小數或無限迴圈小數，比如4=4.0, 4/5=0.8, 1/3=0.
33333……而無理數只能寫成無限不迴圈小數, 比如√2=1.414213562…………根據這一點,人們把無理數定義為無限不迴圈小數. 2、無理數不能寫成兩整數之比，舉例不對，1分之根號2，根號2本身就不是整數。
利用有理數和無理數的主要區別，可以證明√2是無理數。 證明：假設√2不是無理數，而是有理數。
既然√2是有理數，它必然可以寫成兩個整數之比的形式： √2=p/q 又由於p和q沒有公因數可以約去，所以可以認為p/q 為最簡分數,即最簡分數形式。 把 √2=p/q 兩邊平方 得 2=(p^2)/(q^2) 即 2(q^2)=p^2 由於2q^2是偶數，p 必定為偶數，設p=2m 由 2(q^2)=4(m^2) 得 q^2=2m^2 同理q必然也為偶數，設q=2n 既然p和q都是偶數，他們必定有公因數2，這與前面假設p/q是最簡分數矛盾。
這個矛盾是由假設√2是有理數引起的。 左邊b的因子數是a的倍數，要想等式成立，右邊b的因子數必是a的倍數，推出當且僅當b是完全a次方數，a√b才是有理數，否則為無理數。
9樓：天才超超
能換算成分數的是有理數如2=2/1,0.1=1/10等，不能的是無理數，如π，無限不迴圈小數等。
如何判斷乙個數是有理數或無理數？
10樓：匿名使用者
其實有理數和無理數是錯誤的叫法，由於歷史原因，也就這麼叫了，應該叫有比例數和無比例數，即，乙個數能否寫成兩個整數比的形式，能就是有比例數(有理數)，不能就是無比例數(無理數)
11樓：中華才俊網
這要看根號下的那個數是不是完全平方數，即它能寫成另乙個數的平方。如果是乙個完全平方數，開根號後就是有理數；反之，是無理數。
怎樣判斷乙個數是不是完全平方數？參考下面的文字：
完全平方數是這樣一種數：它可以寫成乙個正整數的平方。例如，36是6×6，49是7×7。
從1開始的n個奇數的和是乙個完全平方數，n^2―即1＋3＋5＋7＋…＋（2n-1）＝n^2，例如1＋3＋5＋7＋9＝25＝5^2。每乙個完全平方數的末位數是0，1，4，5，6，或9
每乙個完全平方數要末能被3整除，要末減去1能被3整除。每乙個完全平方數要末能被4整除，要末減去1能被4整除。
每乙個完全平方數要末能被5整除，要末加上1或減去1能被5整除。
補充說明：
如果根號下是乙個分數，得分別對分子、分母進行判別。如果根號下是乙個小數，先化成分數再用上述方法進行識別。
參考資料：個人見解 加
12樓：幻の上帝
按照定義，任何不能表示為兩個整數之比的實數都是無理數。
考試時可以這樣判斷：
1.首先像圓周率π=3.1415926535897932384626433...、自然對數的底e=2.7182818283...之類的是無理數，死記；
2.剩下的數化簡：分母有根號的分母有理化，再把分子化為最簡根式。如果還有根號的，就是無理數（這裡用到了乙個定理：整數次根號下是整數的最簡根式的值是無理數）。
如果根號下是小數，那麼先化為分數。然後把根號下的分數分別開根號，再根據上述方法判別。
ls的說法是片面的，二次根式時才考慮是否根號下是完全平方數。如果是立方根則要判斷是否是完全立方數……反而麻煩。
另外還有超越數（例如無窮個根號巢狀的情況）也是無理數，但除了1.中的以外，考試中不會考到。
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幾點補充說明：
1.任何乙個有理數能表達為迴圈或不迴圈的小數或整數。至於迴圈與否，取決於具體的數和進製。
如果分母分解出的質因數都能整除進製數則是不迴圈小數或是整數。至於是否是迴圈小數很簡單，能找到迴圈節的就是。
2.有理數和無理數的叫法確實源於歷史原因。但「有比例數」和「無比例數」的叫法容易引起混亂，用得不多。一般分別稱為可公度數和不可公度數。
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最後說明：http://zhidao.
中的程式依賴於數列的性質。
只適合於判斷完全平方數，不適合判斷高次方數。一般來說，實數根式化簡的演算法是需要部分地分解質因數的，而且這樣的方法對於非超越實數根式一定能夠得到最簡分式。
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