1樓：顏代
e^x*sinx的不定積分為e^x*(sinx-cosx)/2+c。
解：∫e^x*sinxdx
=∫sinxd(e^x)
=e^x*sinx-∫e^xd(sinx)
=e^x*sinx-∫e^x*cosxdx
=e^x*sinx-∫cosxd(e^x)
=e^x*sinx-e^x*cosx+∫e^xd(cosx)
=e^x*sinx-e^x*cosx-∫e^x*sinxdx
那麼可得，2∫e^x*sinxdx=e^x*sinx-e^x*cosx
所以∫e^x*sinxdx=e^x*(sinx-cosx)/2+c
擴充套件資料：
1、分部積分法的形式
（1）通過對u(x)求微分後，du=u'dx中的u'比u更加簡潔。
例：∫x^2*e^xdx=∫x^2de^x=x^2*e^x-∫e^xdx^2=x^2*e^x-∫2x*e^xdx
（2）通過對u(x)求微分後使其型別與v(x)的型別相同或相近。
例：∫xarctanxdx=∫arctanxd(1/2x^2)
=1/2x^2*arctanx-1/2∫x^2darctanx=1/2x^2*arctanx-1/2∫x^2/(1+x^2)dx
（3）利用有些函式經一次或二次求微分後不變的性質來進行分部積分。
例：∫e^x*sinxdx=∫sinxde^x=e^x*sinx-∫e^xdsinx=e^x*sinx-∫e^x*cosxdx
=e^x*sinx-∫cosxde^x=e^x*sinx-e^x*cosx+∫e^xdcosx
=e^x*sinx-e^x*cosx-∫e^x*sinxdx
則2∫e^x*sinxdx=e^x*sinx-e^x*cosx，可得
∫e^x*sinxdx=1/2e^x*（sinx-cosx）+c
2、不定積分公式
∫mdx=mx+c、∫cosxdx=sinx+c、∫sinxdx=-cosx+c、∫e^xdx=e^x+c
2樓：我是一個麻瓜啊
∫e^xsinxdx=e^x(sinx-cosx)/2+c。（c為積分常數）
解答過程如下：
∫e^xsinxdx
=∫sinxde^x
=sinxe^x-∫e^xdsinx
=sinxe^x-∫cosxe^xdx
=sinxe^x-∫cosxde^x
=sinxe^x-(cosxe^x-∫e^xdcosx)=sinxe^x-cosxe^x-∫sinxe^xdx2∫e^xsinxdx=sinxe^x-cosxe^x∫e^xsinxdx=e^x(sinx-cosx)/2+c擴充套件資料：分部積分：
(uv)'=u'v+uv'，得：u'v=(uv)'-uv'。
兩邊積分得：∫ u'v dx=∫ (uv)' dx - ∫ uv' dx。
即：∫ u'v dx = uv - ∫ uv' d,這就是分部積分公式。
也可簡寫為：∫ v du = uv - ∫ u dv。
常用積分公式：
1）∫0dx=c
2）∫x^udx=(x^(u+1))/(u+1)+c3）∫1/xdx=ln|x|+c
4）∫a^xdx=(a^x)/lna+c
5）∫e^xdx=e^x+c
6）∫sinxdx=-cosx+c
7）∫cosxdx=sinx+c
8）∫1/(cosx)^2dx=tanx+c9）∫1/(sinx)^2dx=-cotx+c10）∫1/√（1-x^2) dx=arcsinx+c11）∫1/(1+x^2)dx=arctanx+c
3樓：
∫e^xsinxdx=∫sinxde^x (湊微分)
=e^xsinx-∫e^xdsinx (用分部積分公式)
=e^xsinx-∫e^xcosxdx (算出微分)
=e^xsinx-∫cosxde^x (第二次湊微分)
=e^xsinx-[e^xcosx-∫e^xdcosx] (第二次用分部積分公式)
=e^x(sinx-cosx)-∫e^xsinxdx (第二次算出微分)
由此得：
2∫e^xsinxdx=e^x*(sinx-cosx)+2c
因此∫e^xsinxdx=e^x*(sinx-cosx)/2+c ．
4樓：匿名使用者
(（sinx-cosx)*e^x)/2
5樓：潛擾龍陽
∫e^x*sinx dx=∫sinx d(e^x)=e^xsinx-∫e^xcosx
∫e^xcosx=∫cosx d(e^x)=e^xcosx+∫e^xsinx
∫e^x*sinx dx=e^xsinx-∫e^xcosx=e^xsinx-e^xcosx-∫e^xsinx
2∫e^xsinx=e^xsinx-e^xcosx+c'
∫e^xsinx=e^x(sinx-cosx)/2+c
6樓：滾雪球的祕密
∫e^xsinxdx=e^x(sinx-cosx)/2+c。（c是積分常數）
解題過程：
∫e^xsinxdx
=∫sinxde^x
=sinxe^x-∫e^xdsinx
=sinxe^x-∫cosxe^xdx
=sinxe^x-∫cosxde^x
=sinxe^x-(cosxe^x-∫e^xdcosx)
=sinxe^x-cosxe^x-∫sinxe^xdx
2∫e^xsinxdx=sinxe^x-cosxe^x
∫e^xsinxdx=e^x(sinx-cosx)/2+c
擴充套件資料：
1、常用積分公式：
（1）∫0dx=c
（2）∫x^udx=(x^(u+1))/(u+1)+c
（3）∫1/xdx=ln|x|+c
（4）∫a^xdx=(a^x)/lna+c
（5）∫e^xdx=e^x+c
（6）∫sinxdx=-cosx+c
2、一般定理
定理1：設f(x)在區間[a,b]上連續，那麼f(x)在[a,b]上可積。
定理2：設f(x)區間[a,b]上有界，且只有有限個間斷點，那麼f(x)在[a,b]上可積。
定理3：設f(x)在區間[a,b]上單調，那麼f(x)在[a,b]上可積。
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