1樓：宇文仙
1.f(x)是偶函式
那麼f(-x)=f(x)
g(x)是偶函式
那麼g(-x)=g(x)
h(x)=f(x)g(x)
所以h(-x)=f(-x)g(-x)=f(x)g(x)=h(x)所以h(x)是偶函式
2.f(x)是奇函式
那麼f(-x)=-f(x)
g(x)是奇函式
那麼g(-x)=-g(x)
h(x)=f(x)g(x)
所以h(-x)=f(-x)g(-x)=-f(x)*(-g(x))=f(x)g(x)=h(x)
所以h(x)是偶函式
3.f(x)是偶函式
那麼f(-x)=f(x)
g(x)是奇函式
那麼g(-x)=-g(x)
h(x)=f(x)g(x)
所以h(-x)=f(-x)g(-x)=f(x)*(-g(x))=-f(x)g(x)=-h(x)
所以h(x)是奇函式
如果不懂，請追問，祝學習愉快！
2樓：繁盛的風鈴
1)設f(x)為偶函式,g(x)為偶函式
證明:h(x)=f(x)*g(x)為偶函式∵f(x),g(x)為偶函式
∴f(x)=f(-x),g(x)=g(-x)∴h(-x)=f(-x)*g(-x)=f(x)*g(x)=h(x)∴h(x)為偶函式
2)設f(x)為奇函式,g(x)為奇函式
證明:h(x)=f(x)*g(x)為偶函式∵f(x),g(x)為奇函式
∴-f(x)=f(-x),-g(x)=g(-x)∴h(-x)=f(-x)*g(-x)=f(x)*g(x)=h(x)∴h(x)為偶函式
3)設f(x)為奇函式,g(x)為偶函式
證明:h(x)=f(x)*g(x)為奇函式∵f(x)為奇函式,g(x)為偶函式
∴-f(x)=f(-x),g(x)=g(-x)∴h(-x)=f(-x)*g(-x)=-f(x)*g(x)=-h(x)
∴h(x)為奇函式
如何證明函式的奇偶性
3樓：那個閃電
先看定義域是否關於原點對稱
如果不是關於原點對稱，則函式沒有奇偶性
若定義域關於原點對稱
則f(-x)=f(x),f(x)是偶函式
f(-x)=-f(x),f(x)是奇函式
具體方法：
1、定義法
①定義域是否關於原點對稱,對稱是奇偶函式的前提條件
②f(-x)是否等於±f(x).
2、圖象法
①圖象關於原點中心對稱是奇函式
②圖象關於y軸對稱是偶函式.
3、性質法
①兩個奇函式的和仍是奇函式
②兩個偶函式的和仍是偶函式
③兩個奇函式的積是偶函式
④兩個偶函式的積是偶函式
⑤乙個奇函式和乙個偶函式的積是奇函式.
擴充套件資料：
奇偶性是函式的基本性質之一。
一般地，如果對於函式f(x)的定義域內任意乙個x，都有f(-x）=f(x)，那麼函式f(x)就叫偶函式。
一般地，如果對於函式f(x)的定義域內任意乙個x，都有f(-x)=-f(x），那麼函式f(x)就叫奇函式。
一、運算
1、 兩個偶函式相加所得的和為偶函式。
2、兩個奇函式相加所得的和為奇函式。
3、兩個偶函式相乘所得的積為偶函式。
4、 兩個奇函式相乘所得的積為偶函式。
5、乙個偶函式與乙個奇函式相乘所得的積為奇函式。
6、幾個函式復合，只要有乙個是偶函式，結果是偶函式；若無偶函式則是奇函式。
7、偶函式的和差積商是偶函式。
8、奇函式的和差是奇函式。
9、奇函式的偶數個積商是偶函式。
10、奇函式的奇數個積商是奇函式。
11、奇函式的絕對值為偶函式。
12、偶函式的絕對值為偶函式。
二、判斷單調
偶函式在對稱區間上的單調性是相反的。
奇函式在整個定義域上的單調性一致。
三、奇偶數
乙個數滿足xmod2=1，那麼它是奇數；
乙個數滿足xmod2=0，那麼它是偶數。
注：mod 是餘數的意思。 例如：m=xmod2 ,x=7的話，m=1
四、注意
判斷函式奇偶性時首先要看其定義域是否關於原點對稱。乙個函式是奇函式或偶函式，其定義域必須關於原點對稱。
4樓：匿名使用者
證明函式的奇偶性的方法如下：
首先要看函式的定義域是否關於y軸對稱，如果定義域不是關於y軸對稱的，則是非奇非偶函式。如果定義域關於y軸對稱了：
1.能證明該函式f(x)＝f(-x)，則是偶函式。
2.能證明該函式f(-x)＝-f(x)，則是奇函式。
3.如果不符合1和2的，則是非奇非偶函式。
函式奇偶性的定義：
一般地，如果對於函式f(x)的定義域內任意乙個x，都有f(x)＝f(-x)，那麼函式xf就叫偶函式。一般地，如果對於函式xf的定義域內任意乙個x，都有f(-x)＝-f(x)，那麼函式xf就叫奇函式。
5樓：紫色and石頭
一般地，如果對於函式f(x)的定義域內任意乙個x，都有f(-x)=f(x)，那麼函式f(x)就叫做偶函式。如果對於函式f(x)的定義域內任意乙個x，都有f(-x)=-f(x)，那麼函式f(x)就叫做奇函式。
只能定義證，只此一法。
例如，證f(x)=x+1/x是奇函式，只要用-x替換x，得f(-x)=-x+1/(-x)=-x-1/x=-(x+1/x)=-f(x)。
證f(x)=x^2是偶函式，只要用-x替換x，得f(-x)=(-x)^2=x^2=f(x)
6樓：窩巢真赤激
先看這個函式的定義域是否關於原點對稱
再用f（x）與f（-x）進行比較
如果f（x）=f（-x）那麼是偶函式
如果f（x）= - f（-x）那麼是奇函式
7樓：呼哈呼哈
判斷定義域是否關於原點對稱，將-x帶入原函式，判斷和原函式表示式的關係。
怎麼判斷函式奇偶性？
8樓：匿名使用者
（1）奇函式在對稱的單調區間內有相同的單調性偶函式在對稱的單調區間內有相反的單調性
（2）若f（x-a）為奇函式，則f（x）的影象關於點（a，0）對稱若f（x-a）為偶函式，則f（x）的影象關於直線x=a對稱（3）在f（x），g（x）的公共定義域上：奇函式±奇函式=奇函式偶函式±偶函式=偶函式
奇函式×奇函式=偶函式
偶函式×偶函式=偶函式
奇函式×偶函式=奇函式
擴充套件資料函式的早期概念：
十七世紀伽俐略在《兩門新科學》一書中，幾乎全部包含函式或稱為變數關係的這一概念，用文字和比例的語言表達函式的關係。
2023年前後笛卡爾在他的解析幾何中，已注意到乙個變數對另乙個變數的依賴關係，但因當時尚未意識到要提煉函式概念，因此直到17世紀後期牛頓、萊布尼茲建立微積分時還沒有人明確函式的一般意義，大部分函式是被當作曲線來研究的。
9樓：angela韓雪倩
判定奇偶性四法
：（1）定義法
用定義來判斷函式奇偶性，是主要方法 . 首先求出函式的定義域，觀察驗證是否關於原點對稱. 其次化簡函式式，然後計算f(-x)，最後根據f(-x)與f(x)之間的關係，確定f(x)的奇偶性.
（2）用必要條件.
具有奇偶性函式的定義域必關於原點對稱，這是函式具有奇偶性的必要條件.
例如，函式y=的定義域(-∞，1)∪(1，+∞)，定義域關於原點不對稱，所以這個函式不具有奇偶性.
（3）用對稱性.
若f(x)的圖象關於原點對稱，則 f(x)是奇函式.
若f(x)的圖象關於y軸對稱，則 f(x)是偶函式.
（4）用函式運算.
如果f(x)、g(x)是定義在d上的奇函式，那麼在d上，f(x)+g(x)是奇函式，f(x)•g(x)是偶函式. 簡單地，「奇+奇=奇，奇×奇=偶」.
類似地，「偶±偶=偶，偶×偶=偶，奇×偶=奇」.
擴充套件資料：
奇函式在其對稱區間[a,b]和[-b，-a]上具有相同的單調性，即已知是奇函式，它在區間[a,b]上是增函式（減函式），則在區間[-b，-a]上也是增函式（減函式）；偶函式在其對稱區間[a,b]和[-b，-a]上具有相反的單調性。
即已知是偶函式且在區間[a,b]上是增函式（減函式），則在區間[-b，-a]上是減函式（增函式）。但由單調性不能倒導其奇偶性。驗證奇偶性的前提要求函式的定義域必須關於原點對稱。
說明：①奇、偶性是函式的整體性質，對整個定義域而言。
②奇、偶函式的定義域一定關於原點對稱，如果乙個函式的定義域不關於原點對稱，則這個函式一定不具有奇偶性。
③判斷或證明函式是否具有奇偶性的根據是定義。
偶函式：若對於定義域內的任意乙個x，都有f(-x)=f(x)，那麼f(x)稱為偶函式。
奇函式：若對於定義域內的任意乙個x，都有f(-x)=-f(x)，那麼f(x)稱為奇函式。
定理奇函式的影象關於原點成中心對稱圖表，偶函式的圖象關於y軸成軸對稱圖形。
f(x)為奇函式《==》f(x)的影象關於原點對稱
點（x，y）→（-x，-y）
奇函式在某一區間上單調遞增，則在它的對稱區間上也是單調遞增。
偶函式在某一區間上單調遞增，則在它的對稱區間上單調遞減。
性質：1、大部分偶函式沒有反函式（因為大部分偶函式在整個定義域內非單調函式）。
2、偶函式在定義域內關於y軸對稱的兩個區間上單調性相反，奇函式在定義域內關於原點對稱的兩個區間上單調性相同。
3、奇±奇=奇（可能為既奇又偶函式） 偶±偶=偶（可能為既奇又偶函式） 奇x奇=偶 偶x偶=偶 奇x偶=奇（兩函式定義域要關於原點對稱）.
4、對於f（x）=f[g(x)]：
若g(x）是偶函式且f（x）是偶函式，則f[x]是偶函式。
若g(x) 是偶函式且f（x）是奇函式，則f[x]是偶函式。
若g(x）是奇函式且f(x）是奇函式，則f[x]是奇函式。
若g(x）是奇函式且f(x）是偶函式，則f[x]是偶函式。
5、奇函式與偶函式的定義域必須關於原點對稱。
10樓：孤獨的狼
函式的奇偶性的判斷應從兩方面來進行，一是看函式的定義域是否關於原點對稱（這是判斷奇偶性的必要性）二是看與的關係
1、函式的定義域是否是關於原點對稱
（1）如果不是關於原點對稱，那麼這個函式就沒有奇偶性；
例如（-1，2），【-10，10）等等這都不是關於原點對稱的
（2）如果是關於原點對稱，然後接著向下看：
然後就需要通過表示式來判斷特徵了
奇函式的特徵：f（x）+f（-x）=0或者f（-x）=-f（x）；
偶函式的特徵：f（x）-f（-x）=0或者f（-x）=f（x）；
往往很多函式並不是一眼就能得到上面的特徵，那麼怎樣才能得到上述的表示式
一般判斷奇偶性可以用如下的方法：
舉個例子可以看看這三種方法的運用：
上述三種方法中，每種都是圍繞的各自的特徵形式，最後證明出結果
還有一類函式比較特殊，既滿足是奇函式也滿足是偶函式，可以看看這一類函式如何證明其奇偶性
例1：已知是定義在r上的函式f（x）=0，試判斷的奇偶性
證明：定義域為r
f（x）+f（-x）=0，這是奇函式；
f（x）-f（-x）=0，這是偶函式
那麼說明f（x）=0既是奇函式也是偶函式
那麼是不是說明只要f（x）是乙個常數，那麼就滿足既是奇函式也是偶函式呢？
例2：**定義在r上的函式f（x）=c的奇偶性
首先定義域r，
f（x）-f（-x）=c-c=0，這是偶函式；
f（x）+f（-x）=2c
當c=0，這就是奇函式；
當c≠0，這就不是奇函式
那麼說明了
確實存在既是奇函式又是偶函式的函式，這種函式的值恒為零。
因此，函式可分為四類：
1、奇函式（非偶函式）
2、偶函式（非奇函式）
3、既是奇函式又是偶函式（既奇又偶函式）
4、既不是奇函式又不是偶函式（非奇非偶函式）
另外，我們還可以利用函式的圖象來判斷函式的奇偶性。
偶函式 其圖象關於y軸對稱
奇函式 其圖象關於原點對稱
從上面兩個等價命題可以得出：奇函式在原點兩側的單調性相同（即同增同減）；偶函式在原點兩側的單調性相反（即左增右減或左減右增）
所以掌握如何證明函式的奇偶性，那麼相應的函式的其他特性（單調性，週期性。有界性性）等等，就變的簡單多了
函式的奇偶性，函式的奇偶性
1 1 奇 1 2 奇 f x f x 是偶函式 f x f x 是奇函式 f x f x 是偶函式 f x f x 是奇函式 11 奇函式 f 0 0，定義域 1,1 f x lg x 1 1 x lg x 1 1 x f x 2 奇函式 f 0 0，定義域r x x 2 1 x x 2 1 x ...
判斷正弦函式的奇偶性，如何判斷函式奇偶性
1.解 取f x 和f x 則有 f x lg sinx 根號下1 sinx 2 f x lg sinx 根號下1 sinx 2 lg sinx 根號下1 sinx 2 f x f x f x 為偶函式2.解 取f x 和f x 則有 f x sinx sin 2x sin 2x sin 3x si...
求函式奇偶性，判斷函式奇偶性最好的方法
高中數學 1。偶函式 2。非奇非偶函式 3。奇函式 判斷函式的奇偶性要用定義來判斷。1。要先判斷定義域是否關於原點對稱，如果關於原點不對稱，則非奇非偶函式 如果關於原點對稱，則進行第2點 2。如果f x f x 則函式是偶函式，如果f x f x 則函式是奇函式 這三個函式定義域都是r，關於原點對稱...