1樓：天下會無名
糾錯：本題應該是x^2/(x^2+y^2+xy)+y^2/(y^2+z^2+yz)+z^2/(z^2+x^2+xz)>=1
證明如下：
原不等式等價於：
1/[1+y/x+(y/x)^2]+1/[1+z/y+(z/y)^2]+1/[1+x/z+(x/z)^2]>=1
設y/x=a,z/y=b,x/z=c
則原不等式化為已知條件abc=1
證明：1/(1+a+a^2)+1/(1+b+b^2)+1/(1+c+c^2)>=1
考慮證明：1/(a+a+a^2)+1/(1+b+b^2)>=(1+ab)/(1+ab+a^2b^2)
上式等價於(1-ab^2)^2+(1-a^2b)^2+a^2b^2(a-b)^2>=0
上式顯然成立。
於是1/(a+a+a^2)+1/(1+b+b^2)>=(1+ab)/(1+ab+a^2b^2)是成立的。
利用該式我們有：
1/(1+a+a^2)+1/(1+b+b^2)+1/(1+c+c^2)>=(1+ab)/(1+ab+a^2b^2)+1/(1+c+c^2)
利用條件abc=1有(1+ab)/(1+ab+a^2b^2)=(c^2+c)/(1+c+c^2)
於是(1+ab)/(1+ab+a^2b^2)+1/(1+c+c^2)=(c^2+c)/(1+c+c^2)+1/(1+c+c^2)=1
也即1/(1+a+a^2)+1/(1+b+b^2)+1/(1+c+c^2)>=1成立。
原不等式得證。
2樓：沃意
題目抄錯了吧!
應該是證明:x^2/(x^2+y^2+xy)+y^2/(y^2+z^2+yz)+z^2/(z^2+x^2+xz)>1不成了吧
如果是證不成立看下面
證明:∵x,y,z為正數。
又∵x^2/(x^2+y^2+xy)≤x^2/(2xy+xy)=x/3y=1/3(x=y時等號成立)
同理可得，y^2/(y^2+z^2+yz)≤1/3
z^2/(z^2+x^2+xz)≤1/3
∴x^2/(x^2+y^2+xy)+y^2/(y^2+z^2+yz)+z^2/(z^2+x^2+xz)≤1
即 x^2/(x^2+y^2+xy)+y^2/(y^2+z^2+yz)+z^2/(z^2+x^2+xz)>1不成立
3樓：匿名使用者
不會、- =
這複雜的題 不寫算了、 在學校去抄
4樓：匿名使用者
令a=y/x,b=z/y,c=x/z
則有，abc=1
原題變為 1/(1+a+a^2)+1/(1+b+b^2)+1/(1+c+c^2)
利用拉格朗日乘子法，令l=1/(1+a+a^2)+1/(1+b+b^2)+1/(1+c+c^2)+k(abc-1)
用l對a,b,c,k分別求偏導數，並令其為0可得-(2a+1)/(1+a+a^2)^2=kbc;
-(2b+1)/(1+b+b^2)^2=kac;
-(2c+1)/(1+c+c^2)^2=kab;
abc=1
對第一式乘以a,第二式乘以b，第三式乘以c,即得k=-(2a+1)a/(1+a+a^2)^2=-(2b+1)b/(1+b+b^2)^2=-(2c+1)c/(1+c+c^2)^2
由此連等式可知，當l取到極值時，必有a=b=c從而可知原式在a=b=c=1時取到極值。而此時x=y=z代入即得1又因為此極值是唯一存在的，從而一定為最值，所以代入驗證即知結論成立證畢。
5樓：匿名使用者
首先由xy>=1/2(x^2+y^2)…，代入方程，得2x^2/3(x^2+y^2)…，提出乙個2/3得x^2/(x^2+y^2)…。再用糖水定律在第乙個式子的分子和分母上分別加上z^2，第二同樣加上x^2，第三個加上y^2。就解好了
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