1樓:匿名使用者
上述證法都有問題,a+b+c怎麼就大於零了?
其實證法很多,可以用卡孫不等式,柯西不等式,幾何方法等,最簡單的是數學歸納法:
你所問的可以拓展成:算術平均值不小於幾何平均值,即:
(a1+.....+an)/n ≥ (a1a2.an)^(1/n) (當且僅當a1=...=an時,取等號)
當n=3時,即是你題設。
證明:1°
當n=1時,不等式顯然成立;
當n=2時,原不等式為:a1+a2 ≥2 (a1a2)^(1/2),即:
a1^2+a2^2 ≥2a1a2
∵根據(a1-a2)^2≥0可以知道,該不等式一定成立,且a1=a2時,取等號;
2°假設n=k時,原不等式也成立,則:
(a1+...+ak)/k ≥ (a1...ak)^(1/k)
令 tk = (a1+...+ak)/k,
當n=k+1時,
t(k+1) = [a1+...+ak+a(k+1)]/(k+1),該式可以改寫成:
t(k+1) = a1+...+ak+a(k+1) + (k-1)t(k+1)] / 2k ,則:
2t(k+1) = (a1+..+ak)/k + [a(k+1) +t(k+1)+t(k+1)+...+t(k+1)]/k
≥ (a1...ak)^(1/k) + [a(k+1)t(k+1)^(k-1)]^(1/k)
令 m = (a1...ak)^(1/k) + [a(k+1)t(k+1)^(k-1)]^(1/k) ,
根據1°中的不等式(a1-a2)^2≥0,可知:a1+a2 ≥ 2 (a1a2)^(1/2) (當a1,a2≥0
時,且a1=a2取等號),因此:
m ≥ 2^(1/2)
當a1a2...ak=a(k+1)t(k+1)^(k-1)時取等號,即a1=a2...=ak=a(k+1)時取等號
所以:t(k+1)^2 ≥ [(a1...ak)^(1/k)]| * |[a(k+1)t(k+1)^(k-1)]^(1/k)
t(k+1) ≥ [a1a2...a(k+1)]^(k+1)
∴當n=k+1時,原不等式也成立,當a1=a2...=a(k+1)時取等號
綜合根據數學歸納法,原不等式成立。
當n=3時,自然成立,即:
a+b+c ≥ 3 (abc)^(1/3) (當且僅當a=b=c時取等號)
2樓:匿名使用者
a³+b³+c³-3abc
=(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ac)=1/2×(a+b+c)(2a²+2b²+2c²-2ab-2bc-2ac)
=1/2×(a+b+c)[(a-b)²+(b-c)²+(c-a)²] ≥0
a³+b³+c³≥3abc
令x=a^1/3 y=b^1/3 z=c^1/3也就是x+y+z>=3(xyz)^(1/3)得證
3樓:
算術平均》幾何平均,n個正數都成立的。
證明 a+b+c大於3(a*b*c)^(1/3)
4樓:清山鶴
a³+b³+c³-3abc
=(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ac)=1/2×(a+b+c)(2a²+2b²+2c²-2ab-2bc-2ac)
=1/2×(a+b+c)[(a-b)²+(b-c)²+(c-a)²] ≥0
a³+b³+c³≥3abc
(a+b+c)³≥27abc
abc≤[(a+b+c)/3]³
望採納。。。碼字不易。
設a,b,c是正實數,求證:a^ab^bc^c≥(abc)*1/3(a+b+c)
5樓:西域牛仔王
因為 a、b 是正實du數,如果 a>b ,zhi則dao a-b>0 ,內a/b>1 ,因此 (a/b)^(a-b)>1 ,
如果 a=b ,顯然 (a/b)^(a-b)=1 ,
如果 a=1 ,化簡得 a^a*b^b>=a^b*b^a ;
同理有 b^b*c^c>=b^c*c^b ,c^c*a^a>=c^a*a^c ,
以上三式兩邊分別相乘,得 (a^a*b^b*c^c)^2>=a^(b+c)*b^(c+a)*c^(a+b) ,
兩邊同乘以 a^a*b^b*c^c 得 (a^a*b^b*c^c)^3>=a^(a+b+c)*b^(a+b+c)*c^(a+b+c) ,
化簡即得結論。
設有理數a,b,c滿足a b c 0,abc 0,則a,b,c中負數的個數為幾
劍魚遊走四海 設有理數a,b,c滿足a b c 0,abc 0,則a,b,c中負數的個數為1 因為,負數為奇數,才能夠保證積為負數。而a b c是三個有理數,那麼,只能是3或1個負數能夠使abc 0。但是,要同時使a b c 0,那麼,就不可能三個數都是負數。因此,只有一個結果,那就是 有理數a,b...
已知ABC 0且A B C 0,求A(1 C) B(1 A) C(
一個簡單的方法 a 1 b 1 c b 1 c 1 a c 1 a 1 b a 1 a 1 b 1 c b 1 b 1 c 1 a c 1 c 1 a 1 b 3 a b c 1 a 1 b 1 c 3 3 我不是他舅 b c a,c a b,a b c 原式 a b c bc b a c ac c...
已知abc不等於0,a b c 0,求a 1 c b 1 a c 1 b 3的值
a 1 b 1 c b 1 c 1 a c 1 a 1 b 3 a b a c b c b a c a c b 1 1 1 a b c c c a c b b b b c a a a a b c c a b c b a b c a 0 0 0 0 安正 由a b c 0,c a b,b a c,a ...