1樓：匿名使用者
已知函式f(x)=-(2m+2)lnx+mx-(m+2)/x ，試討論此函式的單調性
解：∵函式f(x)=-(2m+2)lnx+mx-(m+2)/x ，
∴f（x）的定義域為，
∵f'(x)=-(2m+2)/x +m+(m+2)/x²
=m/x²-(2m+2)/x+(m+2)/ x2
=(x-1)[mx-(m+2)]/ x² ，
①當m=0，f'(x)=-2(x-1)/x²=0，
∴x=1，
∴f（x）的單調遞增區間為（0，1），遞減區間為（1，+∞）；
②當m≠0時，令f′（x）=0，
∴x₁=1，x₂=(m+2) /m ，
若m＞0，則x₁＜x2，
∵當x∈（0，x₁）和x∈（x₂，+∞）時，f′（x）＞0，當x∈（x₁，x₂）時，f′（x）＜0，
∴f（x）的單調遞增區間為（0，x₁），（x₂，+∞），遞減區間為（x₁，x₂）；
若-2＜m＜0，則x₂＜0＜x₁，
∵當x∈（0，1）時，f′（x）＞0，當x∈（1，+∞）時，f′（x）＜0，
∴f（x）的單調遞增區間為（0，1），遞減區間為（1，+∞）；
若m＜-2，則0＜x₂＜1，
∵當x∈（0，x₂）和x∈（x₁，+∞）時，f′（x）＜0，當x∈（x₂，x₁）時，f′（x）＞0，
∴f（x）的單調遞減區間為（0，x₂），（x₁，+∞），遞增區間為（x₂，x₁）；
若m=-2，則x₂=0=x₁，
∵當x∈（0，1）時，f′（x）＞0，當x∈（1，+∞）時，f′（x）＜0，
∴f（x）的單調遞增區間為（0，1），遞減區間為（1，+∞）；
綜上所述:當m＞0時，f（x）的單調遞增區間為（0，x₁），（x₂，+∞），
遞減區間為（x₁，x₂），
當-2≤m≤0時，f（x）的單調遞增區間為（0，1），
遞減區間為（1，+∞），
當m＜-2時，f（x）的單調遞減區間為（0，x₂），（x₁，+∞），
遞增區間為（x₂，x₁）．
2樓：里昂
點評：主要是考查了導數在研究函式單調性中的運用，屬於中檔題。體現了分類討論思想的運用。
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