1樓：
解：基本原理：算術平均值》= 幾何平均值
1. 拆項： x^2 +4/x = x^2 +2/x +2/x >= 3*3次根號下(x^2 *2/x *2/x) = 3*3次根號下4
取等條件：x^2 = 2/x，即 x=3次根號下2
2. 還是拆項：y = x^2 (1-3x) = (4/9)(3x/2)(3x/2)(1-3x) <= (4/9)*[(1/3)(3x/2+ 3x/2+ 1-3x)]^3 = 4/243
取等條件：3x/2 = 1-3x，即x=2/9
3. 1的巧用：t = 2*根號下ab -4a^2 -b^2 = 2*根號下ab -(2a+b)^2 +4ab = 4ab+ 2*根號下ab -1 = (2*根號下ab + 1/2)^2 -5/4 --- @
因為1 = 2a+b >= 2*根號下(2ab)，所以ab <= 1/8，根號下ab <= (1/4)*根號2
於是 t = @式 <= [2*(1/4)*根號2 + 1/2]^2 -5/4 = (1/2)(根號2 -1)
取等條件：2a=b，聯立2a+b=1即得：a=1/4，b=1/2
哈哈，分是我的~^_^
2樓：
我只寫過程,結果不寫了,你自己都知道.
1.原式等於x^2 + 2/x+2/x,然後可以用基本不等式法,因為這3個式子的乘積是常數
2.第2個寫成2x*x*(1-3x)*1/2,然後同樣用基本不等式,因為2x,x,1-3x的和是常數.
3.根號下是-(2a+b)^2+5ab=5ab-1,所以只要5ab-1取最大值,t就是最大值.b=1-2a,代入5ab-1這個式子裡整理,只需求出5a-10a^2-1這個2次函式在(0,1/2)這個區間上的最大值就可以了.
1/2是因為b=1-2a,b>0,所以a<1/2我只寫了個過程,如果有什麼不懂的再發訊息給我吧
3樓：我愛啊薰
x^2 + 4/x=x^2+2/x+2/x≥3倍4的3次方根,當且僅當x^2=2/x=2/x,即x^3=2
x=2的3次方根時取最小值.
0 y=x^2 (1-3x)=4/9*(3x/2)(3x/2)(1-3x) ≤4/9*^3 =4/9*1/27=4/243 當且僅當3x/2=3x/2=1-3x 也就是x=2/9時取等號 若0 a、b都是正數，且2a+b=1, b=1-2a t=2√（ab-4a^2-b^2）=2√[a(1-2a)-4a^2-(1-2a)^2] =2√(-10a^2+5a-1)=2√[-10(a-1/4)^2-3/8] 感覺到了這裡就有問題了，所以還請你把這個 題目的問題講清楚，是根號裡面還是就根號（ab） 基本不等式 為什麼我的演算法答案不對？ 4樓：青草 x和y都是正數的時候才可以用這個基本不等式。 現在題目是說x和y是實數，不可以 5樓：哀家把太后殺了 乘一法。。。兩個式子相乘就明白了b 6樓：紙鳶花 xy不能確定正負，第二步直接去平方錯了 基本不等式解題時,除了求最值,什麼時候要求左右一方為定值 7樓：德洛伊弗 呵呵，這是個好問題！不過樓上的一些解答說得似乎太複雜了，很多又是答非所問…… 其實從本質上說，對於一個不等式問題，可以隨便用任何一個成立的不等式，連著用多次也沒關係，只要保證不等號的方向總是對的就行。但是最值問題比不等式問題要求更強，它要求等號能夠成立。所以用不等式解決最值問題時就兩步(以求x的最小值為例)： 1. 用不等式放縮，得到x≥a（注意，a是個已知的值，不能還是個函式，這就是“一方為定值“的含義，但個人認為這麼說容易引起誤解）。2. 說明x=a可以成立（這裡常見的情況是x≥a是由若干不等式聯合得到的，比如x≥y≥z≥a，這時為說明x=a可以成立，只要說明上面的每個不等式都能成立"="就行）。只要這兩點都做到了，那方法一定是對的。下面用這個標準來看看你舉的例子。 先看你問題中的這個例子。首先放縮得到t≥2+根號2，這肯定沒問題。其次，你這裡面用了兩步放縮，第一個等號成立條件a=b, 第二個等號成立條件t=2+根號2. 當a=b=1+根號2/2時，兩個不等式都成立等號。所以這個做法沒有任何問題。 再看你在二樓追問的那個問題，錯在我上面說的1.不滿足。這個證明沒有把x^2+4/x放縮到≥一個固定的值a. x^2+4/x≥4√x, 這個式子沒錯，但右邊不是定值，通過此式得不出一個下界（”下界“這個概念顧名思義就好）。後面的推理也是沒有道理的，就好比通過甲》乙，丙=丁，然後推出甲》丁一樣荒謬。關鍵在於4√x不是定值，x不同時，4√x可以是上面的乙，也可以是上面的丁，用它作媒介推不出來甲和丙的大小。 總之，”一方為定值“這個說法有一定道理，不過容易引起誤解。實際上放縮的過程可能是由多個不等式聯合得到的，並不需要每一個不等式都有一方為定值（比如你問題中那個例子的t≥2√(t+1) 這一步，兩邊都不是定值），但一定要求最後得到一個定值作為下界。我建議樓主用我上面說的1,2來理解，也包括那裡括號中的內容。 p.s，"dantafiction"網友說的那個三角形全等判定的命題是對的。邊邊角情況下，如果那個角是鈍角則的確可以判定全等。 我看上面那些解答中也就dantafiction的切題且靠譜一些。不過我覺得他說的有些絕對，"一邊為定值"這種類似於口訣的說法有一定道理，關鍵是要理解這句話的實質，而不僅僅是字面意思。很多錯誤或者教條都是由於只從字面理解某些口訣造成的。 如果樓主理解了我上面說的兩條，這種口訣不要也罷~~但願我的解答對樓主有幫助:) 8樓：匿名使用者 你的問題有一個前提，就是“a,b均為整數”應為“a,b均為正數”，在這個前 提下，你的答案是正確，也好理解你的問題。 a+b≥2√(ab)的**是(√a-√b)^2≥0,由此a≥0且b≥0，而(√a-√b)^2=a-2√(ab)+b，即為a-2√(ab)+b≥0，由此得a+b≥2√(ab)。在這個基本公式中，只要求a≥0且b≥0而未要求a+b一定是定值，雖然滿足a≥0且b≥0時定值也成立。至於當a=b時等號成立，是因算術平均值與幾何平均值的性質決定的。 命題中a,b均為正數而排除0是由考察點決定的，也就是說在考察點的範疇說a、b或a+b不能做分母，所以你老師說這樣的思路可以（嚴格意義上說不嚴謹）。 9樓：匿名使用者 首先公式a+b≥2√ab(a>0,b>0)是恆成立的，一樓已經 證明過了，所以不要求有一邊為 定值。其次，在計算最值時為什麼要要求一邊為常數呢。如果不是常數a+b≥2√ab確定出的最小值則是≥min2√ab, a=b只能使不等式的等號成立，而不是取2√ab的最小值，此時，給不出表示式的最值的。 形象的解釋：即在曲線a+b下面畫了一條曲線2√ab，兩曲線的重合點未必是曲線a+b的最低點，而出定值的不等式則是在曲線a+b下面畫了一條水平線，重合的點必然是最低點。 第三，你題中的方法，使用a+b≥2√ab=2√(a+b+1)這一不等式中的a=b確定的並不是最小值，而是這個等式成立的條件，最小值為min2√(a+b+1)，只是恰好a+b≥2√(a+b+1)這個不等式自身能給出了a+b的最值a+b≥2+2√2（對應a=b恰好滿足最值條件a-1=b-1） 綜上，不等式恆成立，在應用中可以正常使用，只要a>0,b>0；求最值使用時儘可能使一邊為定值，否則，a=b給出的僅是不等式成立的條件，而未必是最值的條件。 ps：作為反例y=x²+4/x≥4√x，則是典型的，曲線4√x在曲線x²+4/x的下方，x²=4/x時兩曲線相切，但不是最小值點，隨著x的減小，兩曲線繼續下降，只是4√x下降的更快，在取最小值x²=2/x時，4√x比x²+4/x的最小值還要小，即不等式x²+4/x≥4√x沒有錯，只是這種應用給不出最小值。所謂使不等式一邊為定值的說法，不是不等式成立的條件，而是我們應用的一種指導原則。 10樓：匿名使用者 ^樓主第一隻要用到均值不等式都要符合正定等的條件 例如證明不等式：2√x≥3-1/x (x>0) 證明：2√x+1/x=√x+√x+1/x≥3*[(√x)*(√x)*(1/x)]^(1/3)=3 這才是正確的 像四樓解，那才成立，那才符合正定等。 但是你的做法也不能說錯，嚴謹的說你用到的的確不是均值不等式，而是它的變形，用它做了一巧妙的過渡，這種過渡又是正確的，允許的，也符合數學推理 你這道題目的解法跟你舉例的那個根本不是同一個性質的題目，你們的目的是不同的，你舉例的那個是為了求最值，你上面那個只是一個過渡 還有就是最後的那位說那個三角形定理，不對嗎，我真不懂，人家不是說要兩邊和那個夾角嗎，重點是夾角，我不是懷疑你的能力，你們愛思考是好事，但數學的定理經過了多少數學家的反覆證明才變成今天的，我們不能隨便說不合理吧，在想定理本身的問題外，我們是否要考慮一下自己的問題呢。 數學博大精深 11樓：匿名使用者 事實上，定值這種說法只不過是一些沒本事的老師為了不讓學生搞混而自創的一種說法，(就像初中裡全等判定中的ssa不可以那樣),為什麼不是定值容易錯，其實是因為不是定值的話你可能會對x,y再一次使用均值不等式，然而此時問題就來了，因為你使用的兩次均值不等式等號不一定能同時取到，比方x,y正數x+y=1,求x^2+y^2+1/xy最小值，x^2+y^2≥2xy,原式≥2xy+1/xy≥2√2 這看似是對的，然而由於第一次的“放縮”等號成立條件是x=y=1/2但第二次卻是(xy)^2=1/2所以兩次等號不能同時取到，求出的2√2也只是一個虛假的最小值，事實上是不成立的。然而如果你在證明的步驟中能指出每一次的等號都能取到，那麼就無需考慮什麼定值不定值的問題。 (另外，lz要注意所謂的1正，2定，3相等，這句話很扯，首先，lz要了解二元均值不等式的特殊之處，x^2+y^2≥2xy無論何時都成立,(x+y)^2≥4xy同樣也無論x,y正負，始終成立的，因為這是配方得來的,從這裡就可以看出一些老師對學生的誤導，對於一些本質的問題的無視，就像我之前提到的，初中說兩邊一對角不能判定全等，卻從不說當這個對角是鈍角是那兩個三角形的確全等，大概這兩者也是一樣的道理。最後若lz對不等式由興趣，可以去了解一下一些高階一點的方法，比方逐步調整法，磨光法，導數調整法，求偏導，利用定積分的幾何意義，切線法等等等,這些方法都相當萬能，還可以瞭解一些著名的不等式，比方柯西(常用)，琴生(少)，切比雪夫，舒爾(萬能)，卡爾鬆等等。) 鏡 月影 應該是第1個對吧,沒什麼可說的.至於第2個.你不是用基本不等式求出了那一堆東西 6sqr x 麼,你要求整個g x 的最小值,就意味著你那條不等式要取等號,而你取等號的條件是你套用了基本不等式的兩個式子,就是x 1和9x x 1 這兩個式子要相等,顯然它們相等的時候x是不等於1的.而你在下... 第一題柯西不等式x y 18 x y x y 2 x 8 y 根號 x 2 x 根號 y 8 y 2 根號2 2根號2 2 18 等號成立時有x 2 x y 8 y y 2 4x 2,y 2x 代入2 x 8 y 1得6 x 1,x 6,y 12 第二題也是，xy 64 需要變形 2 x 8 y 1... 8 x 1 y 1 y 1 1 8 x x x 8 1 8 x 8 8 x 1 y 1,x 0,y 0 x 8,y 1 x 2y x 2 16 x 8 x 8 16 x 8 10 2 16 10 18 當且僅當x 8 16 x 8 即x 12時取得等號，此時y 1 8 x 8 3 並不是x 2y時，...關於基本不等式應用的問題，關於基本不等式應用的1個問題
數學基本不等式問題，關於數學基本不等式的問題
利用基本不等式求函式最值的疑惑，基本不等式應用和求最值的問題一般如何思考