隱函式求導答得好再追加

時間 2021-10-29 10:27:21

1樓:匿名使用者

對於隱函式來說,因為函式關係式y=f(x)不一定求得出來,所以y對x的導數的表示式中一般也出現y. 原函式求導的方法是方程兩邊對x求導,需要注意的是y是x的函式,所以關於y的函式e^y對x求導時,是一個複合函式求導的問題,y相當於中間變數. 一定不要丟了對y的求導

例如:1、設y=y(x)由方程cos(x+y)+y=1確定,求dy/dx

解:將所給式子兩端關於x求導可得到

-sin(x+y)*(x+y)'+y'=0

-sin(x+y)*(1+y')+y'=0

y'=sin(x+y)/【1-sin(x+y)】

2、設y=y(x)是由方程e^x-e^y=sin(xy)所確定,求y',y'|x=0

解:e^x-e^y*y'=cos(xy)*(xy)'

e^x-e^y*y'=cos(xy)*(y+xy')

e^x-e^y*y'=y*cos(xy)+xy'*cos(xy)

移項得y'=[e^x-ycos(xy)]/[e^y+xcos(xy)]

3、設y=[(x+1)^2*(x+2)^3]/[(x+4)*√(x+3) ],求y'

解:運用對數求導法,根據對數的性質可寫為

lny=2ln(x+1)+3ln(x+2)-0.5ln(x+3)-ln(x+4)

將上式兩端分別關於x求導,得

y'/y=2/(x+1)+3/(x+2)-1/2(x+3)-ln(x+4)

y'=y*[2/(x+1)+3/(x+2)-1/2(x+3)-ln(x+4)]

把y=[(x+1)^2*(x+2)^3]/[(x+4)*√(x+3) ],帶入即可

y'=[(x+1)^2*(x+2)^3]/[(x+4)*√(x+3) ]*[2/(x+1)+3/(x+2)-1/2(x+3)-ln(x+4)]

希望能幫到你

2樓:愛衣

其實不用想那麼複雜,就是一個求全微分的過程。

比如f(x,y)=0,求y'x。直接對f(x,y)=0求全微分,df(x,y) = 0 = f'x dx + f'y dy,故dy/dx = -f'x/f'y,而dy/dx就是隱函式的微分。

再複雜的也一樣,比如f(x,y,z)=0,求y'x。也是求全微分,df(x,y,z) = 0 = f'x dx + f'y dy + f'z dz

要求y'x,即y對x的偏導,先變形一下,dy = -f'x/f'y dx - f'z/f'y dz,所以y對x的偏導就是dx的係數-f'x/f'y,y對z的偏導也一樣,就是dz的係數-f'z/f'y。

定義域根本不需要特意去求,只要把導數的函式式寫出來了,定義域一看就出來了

答得好追加,答得好追加

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