已知函式fx根號下 1 x 2 ,設a,b R,比較

1樓：暖眸敏

還是用高中知識來解吧，

拉格朗日大學才學的，高中沒有：

f(x)=√(x²+1)

f(a)-f(b)

=√(a²+1)-√(b²+1)

=(a+b)(a-b)/[√(a²+1)+√(b²+1)]=(a+b)/[√(a²+1)+√(b²+1)]*(a-b)∵|a|<√(a²+1)

|b|<√(b²+1)

∴ |a|+|b|<√(a²+1)+√(b²+1)∵|a+b|≤|a|+|b|

∴|a+b|<[√(a²+1)+√(b²+1)]∴|a+b|/[√(a²+1)+√(b²+1)]<1∴|f(a)-f(b)|

=|a+b|/[√(a²+1)+√(b²+1)]*|a-b|<|a-b|

即|f(a)-f(b)|<|a-b|

2樓：

解：a、若a>b,則

|f(a)-f(b)|=f(a)-f(b)=(1+a^2)^0.5-(1+b^2)^0.5

|a-b|=a-b

以上兩式相除

(a-b)/[f(a)-f(b)]=(a-b)/[(1+a^2)^0.5-(1+b^2)^0.5]

=[(1+a^2)^0.5+(1+b^2)^0.5]/(a+b)>1

故|f(a)-f(b)|<|a-b|

若a|x|/√(1+x²)≤1/2＜1.即對任意實數x,恒有|f'(x)|≤1/2.

(2)易知，在r上，函式f(x)連續可導，

(不妨設a

|f(b)-f(a)|=|f'(ξ)|*|b-a|,由（1）可知，|f'(ξ)|＜1.故有|f(a)-f(b)|＜|a-b|.

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莘崑鵬鐸舒 這個題目還是比如基礎的，一般可以採用換元法求解設y sqrt 1 x 2 x sin t dx cos t dt 積分ydx sqrt 1 x 2 dx sqrt 1 sin t 2 cos t dt cos t 2dt cos 2t 1 2dt 1 4sin 2t 1 2t c 1 2...