1樓：匿名使用者
用施瓦茲不等式即可證：∫(a→b)f²(x)dx•∫(a→b)g²(x)dx≥[∫(a→b)f(x)•g(x)dx]²
∫∫(d)e^(f(x)-f(y)dxdy=∫(a→b)dx∫(a→b)e^(f(x)-f(y))dy=∫(a→b)e^f(x)dx∫(a→b)e^(-f(y))dy
=∫(a→b)e^f(x)dx∫(a→b)e^(-f(x))dx≥²=[∫(a→b)dx]²=(b-a)²
2樓：何珉賽巨集爽
二重積分對稱性定理：積分區域d關於原點對稱，f(x,y)同時為x,y的奇或偶函式，則∫∫f(x,y)dxdy（在區域d上積分）=0（當f關於x,y的奇函式，即f(-x,-y)=-f(x,y)時）
或∫∫f(x,y)dxdy（在區域d上積分）=2∫∫f(x,y)dxdy（在區域d*上積分，其中區域d*是區域d在x>=0(或y>=0)的部分），（當f關於x,y的偶函式，即f(-x,-y)=f(x,y)時）
奇函式∫∫f(x,y)dxdy=∫∫-f(-x,-y)dxdy=-∫∫f(-x,-y)dxdy==-∫∫f(x,y)d(-x)d(-y)=-∫∫f(x,y)dxdy
因此∫∫f(x,y)dxdy=0
偶函式同理
二重積分的性質的證明 10
3樓：匿名使用者
證明都是顯然的。
第乙個：因為∫∫f(x,y)dσ≦∫∫g(x,y)dσ等價於0≦∫∫(g(x,y)-f(x,y))dσ,這由條件和二重積分的性質顯然成立。
第二個：你可能把∣∫∫f(x,y)dσ∣≦∫∫∣f(x,y)dσ寫成如題目的樣子了。這個由二重積分的基本性質和簡單不等式的性質及二重積分的幾何意義，顯然。
第三個：和第一第二個用到的性質類似。
這三道題是二重積分剛講完之後最基本的練習題。
4樓：凌雲之士
有的還真不會證明，但是說說自己的想法吧，希望對你有幫助。
（1）考研一般用此性質來出估值題
（2）∫∫f(x,y)dσ ≦∣∫∫f(x,y)dσ∣≦∫∫∣f(x,y）∣dσ
這個性質考研時不太用
（3）中值定理（考研有時會考證明題）
證：區域d內存在（ξ ，η）使f(ξ，η）=c (m≦c≦m)∫∫f(x,y)dσ=f(ξ，η）* ∫∫dσ=f(ξ，η）* σ
二重積分的證明題
5樓：巴山蜀水
分享一種解法。設d=。由積分中值定理，有∫∫df(x,y)dxdy=(sd)*f(ξ,ζ)，其中，(ξ,ζ)∈d；sd是積分區域d的面積，sd=πr²。
而，r→0時，x²+y²→0，∴(x,y)→(0,0)。∴(ξ,ζ)→(0,0)。又，f(x,y)在(0,0)的某鄰域內連續，∴f(0,0)存在。
∴原式=lim(r→0)πr²f(ξ,ζ)/r²=πf(0,0)。
供參考。
6樓：
先看被積函式 integrand，再看積分區域 boundary/domain/interval/area：
a、先看被積函式是否是關於x的對稱函式，再看是否是關於y的對稱函式；
千萬不要急於求成，同時看是否是關於x、y的對稱函式；
b、再畫出積分區域，看看積分區域是否對稱與x軸，或對稱於y軸：
a、如果被積函式對稱於
一、二象限，積分區域也對稱與
一、二象限，
積分為0；證明的方法就是被積函式一樣，按積分區域寫成兩個積分表示式，然後得出結論0；
b、如果被積函式對稱於
一、四象限，積分區域也對稱與
一、四象限，
積分為0；
其餘依此類推。
7樓：古舟碩驪婧
先交換積分次序
再對x的定積分湊arcsin的微分
計算出二重積分的值
得到等式成立
過程如下圖：
用定義證明二重積分的可加性
8樓：匿名使用者
1內容：管類數學就靠函式，極限，微分，積分（包括定分和不定積分）及他們的應用。
理工類考的除上述內容外還有長微分，級數等內容。
2難易度：經管和理工的難易度不同，經管類只要求會簡單運算，而理工類要求要透徹掌握！
一、函式、極限和連續
（一）函式
（1）理解函式的概念：函式的定義，函式的表示法，分段函式。
（2）理解和掌握函式的簡單性質：單調性，奇偶性，有界性，週期性。
（3）了解反函式：反函式的定義，反函式的圖象。
（4）掌握函式的四則運算與復合運算。
（5）理解和掌握基本初等函式：冪函式，指數函式，對數函式，三角函式，反三角函式。
（6）了解初等函式的概念。
（二）極限
（1）理解數列極限的概念：數列，數列極限的定義，能根據極限概念分析函式的變化趨勢。會求函式在一點處的左極限與右極限，了解函式在一點處極限存在的充分必要條件。
（2）了解數列極限的性質：唯一性，有界性，四則運算定理，夾逼定理，單調有界數列，極限存在定理，掌握極限的四則運算法則。
（3）理解函式極限的概念：函式在一點處極限的定義，左、右極限及其與極限的關係，x趨於無窮（x→∞，x→+∞，x→-∞）時函式的極限。
（4）掌握函式極限的定理：唯一性定理，夾逼定理，四則運算定理。
（5）理解無窮小量和無窮大量：無窮小量與無窮大量的定義，無窮小量與無窮大量的關係，無窮小量與無窮大量的性質，兩個無窮小量階的比較。
（6）熟練掌握用兩個重要極限求極限的方法。
（三）連續
（1）理解函式連續的概念：函式在一點連續的定義，左連續和右連續，函式在一點連續的充分必要條件，函式的間斷點及其分類。
（2）掌握函式在一點處連續的性質：連續函式的四則運算，復合函式的連續性，反函式的連續性，會求函式的間斷點及確定其型別。
（3）掌握閉區間上連續函式的性質：有界性定理，最大值和最小值定理，介值定理（包括零點定理），會運用介值定理推證一些簡單命題。
（4）理解初等函式在其定義區間上連續，並會利用連續性求極限。
二、一元函式微分學
（一）導數與微分
（1）理解導數的概念及其幾何意義，了解可導性與連續性的關係，會用定義求函式在一點處的導數。
（2）會求曲線上一點處的切線方程與法線方程。
（3）熟練掌握導數的基本公式、四則運算法則以及復合函式的求導方法。
（4）掌握隱函式的求導法、對數求導法以及由引數方程所確定的函式的求導方法，會求分段函式的導數。
（5）理解高階導數的概念，會求簡單函式的n階導數。
（6）理解函式的微分概念，掌握微分法則，了解可微與可導的關係，會求函式的一階微分。
（二）中值定理及導數的應用
（1）了解羅爾中值定理、拉格朗日中值定理及它們的幾何意義。
（2）熟練掌握洛必達法則求「0/0」、「∞/ ∞」、「0?∞」、「∞-∞」、「1∞」、「00」和「∞0」型未定式的極限方法。
（3）掌握利用導數判定函式的單調性及求函式的單調增、減區間的方法，會利用函式的增減性證明簡單的不等式。
（4）理解函式極值的概念，掌握求函式的極值和最大（小）值的方法，並且會解簡單的應用問題。
（5）會判定曲線的凹凸性，會求曲線的拐點。
（6）會求曲線的水平漸近線與垂直漸近線。
三、一元函式積分學
（一）不定積分
（1）理解原函式與不定積分概念及其關係，掌握不定積分性質，了解原函式存在定理。
（2）熟練掌握不定積分的基本公式。
（3）熟練掌握不定積分第一換元法，掌握第二換元法（限於三角代換與簡單的根式代換）。
（4）熟練掌握不定積分的分部積分法。
（二）定積分
（1）理解定積分的概念與幾何意義，了解可積的條件。
（2）掌握定積分的基本性質。
（3）理解變上限的定積分是變上限的函式，掌握變上限定積分求導數的方法。
（4）掌握牛頓—萊布尼茨公式。
（5）掌握定積分的換元積分法與分部積分法。
（6）理解無窮區間廣義積分的概念，掌握其計算方法。
（7）掌握直角座標系下用定積分計算平面圖形的面積。
四、向量代數與空間解析幾何
（一）向量代數
（1）理解向量的概念，掌握向量的座標表示法，會求單位向量、方向余弦、向量在座標軸上的投影。
（2）掌握向量的線性運算、向量的數量積與向量積的計算方法。
（3）掌握二向量平行、垂直的條件。
（二）平面與直線
（1）會求平面的點法式方程、一般式方程。會判定兩平面的垂直、平行。
（2）會求點到平面的距離。
（3）了解直線的一般式方程，會求直線的標準式方程、引數式方程。會判定兩直線平行、垂直。
（4）會判定直線與平面間的關係（垂直、平行、直線在平面上）。
五、多元函式微積分
（一）多元函式微分學
（1）了解多元函式的概念、二元函式的幾何意義及二元函式的極值與連續概念（對計算不作要求）。會求二元函式的定義域。
（2）理解偏導數、全微分概念，知道全微分存在的必要條件與充分條件。
（3）掌握二元函式的
一、二階偏導數計算方法。
（4）掌握復合函式一階偏導數的求法。
（5）會求二元函式的全微分。
（6）掌握由方程f（x，y，z）=0所確定的隱函式z=z（x，y）的一階偏導數的計算方法。
（7）會求二元函式的無條件極值。
（二）二重積分
（1）理解二重積分的概念、性質及其幾何意義。
（2）掌握二重積分在直角座標系及極座標系下的計算方法。
六、無窮級數
（一）數項級數
（1）理解級數收斂、發散的概念。掌握級數收斂的必要條件，了解級數的基本性質。
（2）掌握正項級數的比值數別法。會用正項級數的比較判別法。
(3）掌握幾何級數、調和級數與p級數的斂散性。
（4）了解級數絕對收斂與條件收斂的概念，會使用萊布尼茨判別法。
（二）冪級數
（1）了解冪級數的概念，收斂半徑，收斂區間。
（2）了解冪級數在其收斂區間內的基本性質（和、差、逐項求導與逐項積分）。
（3）掌握求冪級數的收斂半徑、收斂區間（不要求討論端點）的方法。
七、常微分方程
（一）一階微分方程
（1）理解微分方程的定義，理解微分方程的階、解、通解、初始條件和特解。
（2）掌握可分離變數方程的解法。
（3）掌握一階線性方程的解法。
（二）二階線性微分方程
（1）了解二階線性微分方程解的結構。
（2）掌握二階常係數齊次線性微分方程的解法。v
求二重積分換元公式的證明
9樓：愛衣
用曲線積分表示面積，d = ∫∫dxdy = ∫xdy = ∫x(t)y'(t)dt = ∫x(ξ(t),η(t)) (y/dξ * ξ'(t) + dy/dη * η'(t)) dt，其中x(t) = x(ξ(t),η(t))，ξ,η是新座標，而上式又等於曲線積分∫x(ξ,η) (dy/dξ * dξ + dy/dη * dη)
再用格林公式∫x(ξ,η) (dy/dξ * dξ + dy/dη * dη)
= ∫∫( d(xdy/dη)/dξ - d(xdy/dξ)/dη )dξdη
= ∫∫(dx/dξ * dy/dη - dx/dη * dy/dξ) dξdη
= ∫∫|j| dξdη
如果j<0，曲線積分換元時閉路方向相反，前面會多個負號，正好與j的負號抵消，所以加絕對值。
二重積分的計算，二重積分怎麼計算
似紅豆 利用極座標計算二重積分，有公式 f x,y dxdy f rcos rsin rdrd 其中積分割槽域是一樣的。i dx x 2 y 2 1 2 dy x的積分上限是1,下限0 y的積分上限是x,下限是x 積分割槽域d即為直線y x,和直線y x 在區間 0，1 所圍成的面積，轉換為極座標後...
數學，二重積分的性質，數學，二重積分的性質
二重積分的性質 函式和 差 的二重積分等於各函式二重積分的和 差 二重積分是二元函式在空間上的積分，同定積分類似，是某種特定形式的和的極限。本質是求曲頂柱體體積。重積分有著廣泛的應用，可以用來計算曲面的面積，平面薄片重心等。平面區域的二重積分可以推廣為在高維空間中的 有向 曲面上進行積分，稱為曲面積...
二重積分的概念與性質，高數 二重積分的概念與性質
設二元函式z f x,y 定義在有界閉區域d上,將區域d任意分成n個子域 i i 1,2,3,n 並以 i表示第i個子域的面積.在 i上任取一點 i,i 作和lim n n i 1 i,i i 如果當各個子域的直徑中的最大值 趨於零時,此和式的極限存在,則稱此極限為函式f x,y 在區域d上的二重積...