1樓：匿名使用者
f(x+y,xy)=x²+y²=(x+y)² - 2xy
至於為什麼 f(x+y,xy) = x^2+y^2 不是=(x+y)^2+(xy)^2
那是在 f(x+y,xy) 將x+y，xy代入其解析式之後的結果= x^2+y^2
在 f(x+y,xy) 中的兩個自變數是x+y和xy，f(x,y)中的自變數才是x和y。
簡單一點就是說：f(x+y，xy) 和f(x，y)的規則是一樣的，都是f，只不過各自的自變數不同而已，至於用什麼形式來表示自變數，各有各法。
設x+y=u，xy=v，則
f(x+y,xy)=x²+y²=(x+y)² - 2xy =f（u，v）=u²-2v
此時我們可以看到 f(x，y) 與f（u，v）規則一樣，都是f ，自變數的表達形式也一樣（因為既然是自變數，函式的表示式的自變數可以用任何字母來表示，這並沒有差別）。
因此f（u，v）=u²-2v中的u、v可以分別用x、y來代替
f（x，y）=x²-2y
舉個例子來看
f（x+y，xy）= x²+y² 中，假如取x=2，y=3，那麼f（2+3,2×3）=f（5,6）=2²+3² =13
也就是說 f（5，6）一定等於13，此時5和6就是自變數的一個值。也可以從這裡看出，f（x+y，xy）的自變數是x+y和xy。
那麼 對於 f（x，y）=x²-2y ，x取值為5，y取值為6，則 f （5，6）=x²-2y =5²-2×6=13
從這個例子來看，不管是 f（x+y，xy），還是 f（x，y）亦或是f（u，v），只要自變數值取一樣，經過計算之後，函式值也是一樣。不要被自變數那些字母給迷惑。
但是，在同一道題裡面，f（x，y）和g（x，y）的 f 和 g 就有區別，代表不同的規則。
2樓：趨光深海魚
f(x+y,xy)=x^2+y^2=(x+y)^2-2xy將x+y=u，xy=v帶入上式：
f(u,v)=u^2-2v
即f(x,y)=x^2-2y
求微分u=arctan(xy/z^2) (2)設f(x+y,xy)=xy/x^2+y^2,求f(x,y) (3)證明極限不存在lim(x,y)趨於(0,0)xy/x+y 15
3樓：中國51總群主
^第一道題並不是難，而是計算比較麻煩，第二道題稍微難些
1.解：
由(x²+xy)dx-y²dy=0 化為 dy/dx=(x/y)²+x/y (1)
設y/x=u y=ux 則dy/dx=u+xdu/dx
代入(1)整理得到 u²du/(1+u-u^3)=dx/x
右邊容易積分，左邊就比較麻煩
需要一元三次方程的求根公式和一些高等代數的知識，我假設你已經瞭解
對於u²/(1+u-u^3)
先分解分母並乘以-1
對於u^3-u-1，根據試根法，容易發現其沒有有理根
只能用根的公式直接求了。
根據一元三次方程的求根公式u1,u2,u3
知道 設s=三次根號下[(9+√69)/18] t=三次根號下[(9-√69)/18]
u1=s+t
u2=sω+tω²
u3=sω²+tω
其中ω=-1/2+√3i/2 其中i是純虛數，i²=-1
這樣u^3-u-1=(u-u1)(u-u2)(u-u3)
容易知道(u-u2)(u-u3)=u²+(s+t)u+s²-st+t²
這樣的表達比較麻煩，我不妨將上式設為
(u-u2)(u-u3)=u²+bu+c 該式子在有理數域上顯然是無法分解的，故不可約
u1=a
這樣u²/(1+u-u^3)=u²/(u-a)(u²+bu+c)
設u²/(u-a)(u²+bu+c)=p/(u-a)-(mu+n)/(u²+bu+c) p,m,n為未知參量
對於上式右邊合併整理後對比可以得到
p=-(ab+c)/(a²+ab+c) m=a²/(a²+ab+c) n=-ac/(a²+bc+c)
這樣p,m,n就為已知量了
下面就是認真仔細的積分的問題了
∫[p/(u-a)]du=pln|u-a|+k1
∫[(mu+n)/(u²+bu+c)]du=(m/2)∫[(2u+b)/(u²+bu+c)]du-[(bm/2-n)/√(c-b²/4)]∫d[1/√(c-b²/4)](u+b/2)
=(m/2)ln|u²+bu+c|+[(bm/2-n)/√(c-b²/4)]arctan[1/√(c-b²/4)](u+b/2)+k2
其中k1,k2為常數
這樣 u²du/(1+u-u^3)=dx/x兩邊同時積分得到方程的通解
pln|u-a|+(m/2)ln|u²+bu+c|+[(bm/2-n)/√(c-b²/4)]arctan[1/√(c-b²/4)](u+b/2)
=ln|x|+k
其中p,m,n,a,b,c為已知量，k為常數
由於u=y/x
則最後通解為
pln|y/x-a|+(m/2)ln|y²/x²+by/x+c|+[(bm/2-n)/√(c-b²/4)]arctan[1/√(c-b²/4)](y/x+b/2)
=ln|x|+k
其中p,m,n,a,b,c為已知量，k為常數
我補充說明一下，p,m,n,a,b,c根據前面所設所求都可以順次求出具體的數值，由於非常麻煩，我都略去，希望你能自己求出結果，我只是說出這個題目的大概思路。
2.解：
已知函式f(x,y)=(e^x-e^y)/sin(xy) 在點(0,0)
累次極限
由於無論是x→0還是y→0的時候 f(x,y)的累次極限顯然都不存在
重極限可以使用如下技巧，假設，f(x,y)延y=kx (k為常數)趨向於(0,0)時
f(x,y)=(e^x-e^y)/sin(xy)=(e^x-e^kx)/sin(kx²)
顯然，當x→0時，limf(x,kx)不存在
所以f(x,y)的重極限也不存在
二元函式全微分，二元函式全微分
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