1樓：老蝦米
周期函式的導數還是周期函式。
2樓：
下面是周期函式性質
（1）若t（≠0）是f(x)的週期，則-t也是f(x)的週期。
（2）若t（≠0）是f(x)的週期，則nt（n為任意非零整數）也是f(x)的週期。
（3）若t1與t2都是f(x)的週期，則t1±t2也是f(x)的週期。
（4）若f(x)有最小正週期t*，那麼f(x)的任何正週期t一定是t*的正整數倍。
（5）t*是f(x)的最小正週期，且t1、t2分別是f(x)的兩個週期，則 （q是有理數集）
（6）若t1、t2是f(x)的兩個週期，且t1/t2是無理數，則f(x)不存在最小正週期。
（7）周期函式f(x)的定義域m必定是雙方無界的集合。
編輯本段周期函式的判定
定理1若f(x)是在集m上以t*為最小正週期的周期函式則k f(x)+c（k≠0）和1/ f(x)分別是集m和集｛x/ f(x) ≠0，x ｝上的以t*為最小正週期的周期函式。 [1]
證： ∵t*是f(x)的週期，∴對 有x±t* 且f(x+t*)= f(x)，∴k f(x)+c=k f(x+t*)+c，
∴k f(x)+c也是m上以t*為週期的周期函式。
假設t* 不是kf(x)+c的最小正週期，則必存在t’（ 0＜t’＜t*）是k f(x)+c的週期，則對 ，
有k f(x+t’)+c=k f(x) +c k[f(x+t’)- f(x)]=0，∵k≠0，∴f(x+t’)- f(x)=0，∴f(x+t’)= f(x)，
∴t’是f(x)的週期，與t*是f(x)的最小正週期矛盾，∴t*也是k f(x)+c的最小正週期。
同理可證1/ f(x)是集｛x/ f(x) ≠0，x ｝上的以t*為最小正週期的周期函式。
定理2若f(x)是集m上以t*為最小正週期的周期函式，則f(ax+n)是集｛x/ax+ n ｝上的以t*/ 為最小正週期的周期函式，（其中a、b為常數）。
證： 先證 是f(ax+b)的週期
∵t*是f(x)的週期，∴ ，有x±t*∈m，∴a（x ）+b=ax+b ±t*∈m，且f[a（x+ t ）+b]=f（ax+b±t*）=f（ax+b）∴ 是f（ax+b）的週期。
再證 是f（ax+b）的最小正週期
假設存在t’（0＜t’＜ ）是f（ax+b）的週期，
則f（a（x+t’）+b）=f（ax+b），即f（ax+b+at’）=f（ax+b），
因當x取遍｛x/x∈m,ax+b∈m｝的各數時,ax+b就取遍m所有的各數，
∴at’是f(x)的週期，但 ＜=t*這與t*是f(x)的最小正週期矛盾。
定理3設f(u)是定義在集m上的函式u=g（x）是集m1上的周期函式，且當x∈m1時，g(x)∈m，則複合函式f(g(x))是m1上的周期函式。
證： 設t是u=g(x)的週期，則 1有（x±t）∈m1且g（x+t）=g(x) ∴f(g(x+t))=f(g(x))
∴=f(g(x))是m1上的周期函式。
例1 設=f(u)=u2是非周期函式，u= g(x)=cosx是實數集r上的周期函式，則f(g(x))=cos2x是r上的周期函式。
同理可得：（1）f(x)=sin(cosx)，（2）f(x)=sin(tgx)，（3）f(x)=sin2x，（4）f(n)=log2sinx(sinx＞0)也都是周期函式。
例2 f(n)=sinn是周期函式，n=g(x)=ax+b(a≠0)是非周期函式，f(g(x))=sin(ax+b)是周期函式（中學數學中已證）。
例3 f(n)=cosn是周期函式，n=g(x)= （非周期函式）而f(g(x))=cos 是非周期函式。
證：假設cos 是周期函式，則存在t＞0使cos （k∈z） 與定義中t是與x無關的常數矛盾，
∴cos 不是周期函式。
由例2、例3說明，若f(u)是周期函式，u= g(x)是非周期函式，這時f(g(x))可能是，也可能不是周期函式。
定理4設f1(x)、f2(x)都是集合m上的周期函式，t1、t2分別是它們的週期，若t1/t2∈q則它們的和差與積也是m上的周期函式，t1與t2的公倍 數為它們的週期。
證： 設 （(p•q)=1）設t=t1q=t2p則有： 有（x±t）=（x±t1q）=（x±t2p）∈m，且f1(x+t) ±f2（x+t）= f1(x+t1q) ±f2（x+t2p）= f1(x)±f2(x) ∴f1(x) ±f2(x)是以t1和t2的公倍數t為週期的周期函式。
同理可證：f1(x) 、f2(x)是以t為週期的周期函式。
定理4推論
設f1(x) 、f2(x)……fn(x) 是集m上的有限個周期函式t1、t2……tn分別是它們的週期，若， … （或t1，t2……tn中任意兩個之比）都是有理數，則此n個函式之和、差、積也是m上的周期函式。
例4 f(x)=sinx-2cos2x+sin4x是以2π、π、π/2的最小公倍 數2π為週期的周期函式。
例5 討論f(x)= 的週期性
解：2tg3 是以t1= 為最小正週期的周期函式。
5tg 是以t2 為最小正週期的周期函式。
tg2 是以t3= 為最小正週期的周期函式。
又 都是有理數
∴f(x)是以t1、t2、t3最小公倍數（t1、t2、t3）= 為最小正週期的周期函式。
同理可證：
（1）f(x)=cos ;
(2)f(x)=sin2xcos2x+cos2xcos3x+cos3xsin3x。是周期函式。
定理5設f1(x)=sin a1x，f2(x)=cosa2x，則f1(x)與f2(x)之和、差、積是周期函式的充要條件是a1/a2∈q。
證 先證充分性：
若a1/a2∈q，設t1、t2分別為f1(x)與f2(x)的最小正週期，則t1= 、t2= ，又 ∈q
由定理4可得f1(x)與f2(x)之和、差、積是周期函式。
再證必要性（僅就f1(x)與f2(x)的差和積加以證明）。
（1）設sina1x-cosa2x為周期函式，則必存在常數t＞0，
使sina1(x+t)-sina1x=cosa2(x+t)-cosa2x 2cos(a1x+ )sin = -2sin s(a2x+ ) sin (1)。
令x= 得2cos（a1x+ ），則 （k∈z）。(2)
或 c∈z（3）
又在（1）中令 2sin（a2x+ ）sin =-2sin =0
由(4)
由sin （5）
由上述（2）與（3），（4）與（5）都分別至少有一個成立。
由（3）、（5得 ）（6）
∴無論（2）、（4）、（6）中那一式成立都有a1/a2 。
（2）設sinaxcosa2x為周期函式，則 是周期函式。
編輯本段非周期函式的判定
[1]（1）若f(x)的定義域有界
例：f(x)=cosx（ ≤10）不是周期函式。
（2）根據定義討論函式的週期性可知非零實數t在關係式f(x+t)= f(x)中是與x無關的，故討論時可通過解關於t的方程f(x+t)- f(x)=0，若能解出與x無關的非零常數t便可斷定函式f(x)是周期函式，若這樣的t不存在則f(x)為非周期函式。
例：f(x)=cos 是非周期函式。
（3）一般用反證法證明。（若f(x)是周期函式，推出矛盾，從而得出f(x)是非周期函式）。
例：證f(x)=ax+b(a≠0)是非周期函式。
證：假設f(x)=ax+b是周期函式，則存在t（≠0），使對 ，a（x+t）+b=ax+b ax+at-ax=0 at=0 又a≠0，∴t=0與t≠0矛盾，∴f(x)是非周期函式。
例：證f(x)= 是非周期函式。
證：假設f(x)是周期函式，則必存在t（≠0）對 ，有(x+t)= f(x)，當x=0時，f(x)=0，但x+t≠0, ∴f(x+t)=1，∴f(x+t) ≠f(x)與f(x+t)= f(x)矛盾，∴f(x)是非周期函式。
例：證f(x)=sinx2是非周期函式
證：若f(x)= sinx2是周期函式，則存在t（＞0），使對 ，有sin(x+t)2=sinx2，取x=0有sint2=sin0=0，∴t2=kπ（k∈z），又取x= t有sin( t+t)2=sin（ t）2=sin2kπ=0，∴( +1)2
t2=lπ(l∈z+)，∴
與3+2 是無理數矛盾，∴f(x)=sinx2是非周期函式
周期函式週期性的幾個結論怎麼證明啊
3樓：合肥三十六中
你的問題就是說要化成顯性的週期定義
2，多一個負號，怎樣把這個負號去掉呢，版
f(x+2a)=-f(x+a)=-[-f(x)]=f(x)所以t=2a
3,位置不正確f(x) 跑到分權母上去了，f(x+2a)=1/[f(x+a)]=1/[1/f(x)]=f(x)2與3的條件是給出一個f的法則，而這種法則不是周期函式定義的源法則，怎麼把它化成標準的呢要根據所給的形式進行化成標準的定義；
4樓：巨星李小龍
解：1、將x看成
baix-a代入得.f(x-a+a)=f(x-a+b) 即f(x)=f(x+b-a) 故週期為|dub-a|2、f(x+a)=-f(x) 將x看成x+a代入zhi得f(x+a+a)=-f(x+a)即f(x+2a)=-f(x+a)
的daof(x)=f(x+2a)故週期為|2a|3、同2類似，
回週期也答為|2a|
求函式週期性三條結論的推導過程！
5樓：柿子的丫頭
1、f（x+a）=-f（x）
那麼f（x+2a）=f[（x+a）+a]=-f（x+a）=-[-f（x）]=f（x）
所以f（x）是以2a為週期的周期函式。
2、f（x+a）=1/f（x）
那麼f（x+2a）=f[（x+a）+a]=1/f（x+a）=1/[1/f（x）]=f（x）
所以f（x）是以2a為週期的周期函式。
3、f（x+a）=-1/f（x）
那麼f（x+2a）=f[（x+a）+a]=-1/f（x+a）=1/[-1/f（x）]=f（x）
所以f（x）是以2a為週期的周期函式。
所以得到這三個結論。
擴充套件資料
重要推論：
1.如果函式f（x）（x∈d）在定義域內有兩條對稱軸x=a，x=b則函式f（x）是周期函式，且週期t=2|b-a|（不一定為最小正週期）。
2.如果函式f（x）（x∈d）在定義域內有兩個對稱中心a（a，0），b（b，0）則函式f（x）是周期函式，且週期t=2|b-a|（不一定為最小正週期）。
3.如果函式f（x）（x∈d）在定義域內有一條對稱軸x=a和一個對稱中心b（b， 0）（a≠b），則函式f（x）是周期函式，且週期t=4|b-a|（不一定為最小正週期）。
利用周期函式的定積分特性計算，周期函式的定積分的一個性質實在不明白 上限x下限0的f（t）dt以T為周
這個式子由於是對絕對值的積分，根據正弦函式的性質，在0到 是大於等於0的，所以可以化為 n 上 下0 sinxdx n cosx 上 下0 2n回答完畢！ 唉,你們就只會直接算,這樣根本就不是利用周期函式的定積分特性計算,應該用 像形結合 法吧,你先畫出sinx的影象,再把x軸下方的移到x軸的上方,...
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