1樓：智慧型達人哦
因為你要替換的話，得同樣級別的才能換！比如分子是兩個可以替換的式子的和，那就不能隨便換，得看看他倆的級別是否一樣，好多學生常在這塊出錯。
2樓：匿名使用者
先證明只有分子用等價替換的情況,其他情況可以取倒數證明.
設分子為a+b,各自的等價無窮小為a',b',整體的等價無窮小為(a+b)'
lim(a+b)/c=lim(a+b)/c*1=lim(a+b)/c*(a+b)'/(a+b)=lim(a+b)'/c,這是等價替換的證明.
但如果拆開,我們就要先假設lima/c和limb/c都存在(無窮大不算,一定是乙個具體數字),所以有時候你拆不開的.
其次,如果lima/c和limb/c都存在,就有lim(a+b)/c=lima/c+limb/c=lima'/c+limb'/c=lim(a'+b')/c.這時問題又來了.(a+b)'不一定等價於a'+b'看到了沒有.
這種情況是最常見的,例如我們有tanx-sinx~x²/2,但它不等價於x-x=0.
3樓：匿名使用者
等價無窮小的必要條件是：b=a+高階無窮小
1、不是乘除時，就可以用，之所以有這個結論是考題中等價無窮小替換後分子總和分母同階或分子比分母高階，這樣得到的答案是極限存在，反之得到的極限是無窮大，這時需要用泰勒公式。
2、加減時，b=a+高階無窮小中的a可能都被抵消了，只剩下高階無窮了，這時高階無窮小的加減才是答案。
高等數學求極限，為什麼用洛必達法則和等價無窮小的替換結果不同？（有解析加懸賞，謝謝）
4樓：徐行博立
等價無窮小一般只能在乘除中替換，在加減中替換有時會出錯（加減時可以整體代換，不一定能隨意單獨代換或分別代換），比如mf(x)+ng(x),只有f(x)/g(x)的極限不是-n/m時，才可進行等價無窮小代換
你的那種代入方法就是典型的部分代替方法
5樓：
等價無窮小在和差式中不能用，第乙個才到
6樓：匿名使用者
這是因為當sinx/x逼近於0時，它等於1加上某個無窮小（這個無窮小無法求出，但是一定存在，因為sinx/x不嚴格等於1），而當它和cosx求差時，這個無窮小不可忽略
等價無窮小替換時如果分子是加減，而分母是連乘.分母能用等價無窮小代替嗎？
7樓：永恆的
結論：連乘的可以直接等價無窮小替換，所以分母可以；
而加減的不可以直接替換，因此分子不可以。
加減項中如果每一項都是無窮小，各自用等價無窮小替換以後得到的結果不是0，則是可以替換的。用泰勒公式求極限就是基於這種思想。
例子：求當x→0時，(tanx-sinx)/(x^3)的極限。
用洛必塔法則容易求得這個極限為1/2。
我們知道，當x→0時，tanx～x，sinx～x，若用它們代換，結果等於0，顯然錯了，這是因為x-x=0的緣故；
而當x→0時，tanx～x+(x^3)/3，sinx～x-(x^3)/6，它們也都是等價無窮小（實際上都是3階麥克勞林公式），若用它們代換：tanx-sinx～(x^3)/2≠0，就立即可以得到正確的結果。
高等數學：當x趨於0時，（1+x）^n與nx為等價無窮小
8樓：兔老大公尺奇
只需證明（（1＋x）＾x）／（1＋x）趨於1（當x→0時）即（1＋x）＾｛x－1｝趨於1
乙個重要極限：（1＋x）＾｛1／x｝趨於e（當x→0時）所以（1＋x）＾｛x－1｝
＝（1＋x）＾｛（1／x）x（x－1）｝
＝（（1＋x）＾｛1／x｝）＾｛x（x－1）｝趨於e＾0＝1
題1：高等數學等價無窮小的幾個常用公式［數學］當x→0時，
sinx～x
tanx～x
arcsinx～x
arctanx～x
1－cosx～（1／2）＊（x＾2）～secx－1（a＾x）－1～x＊lna（（a＾x－1）／x～lna）（e＾x）－1～x
ln（1＋x）～x
（1＋bx）＾a－1～abx
［（1＋x）＾1／n］－1～（1／n）＊xloga（1＋x）～x／lna
（1＋x）＾a－1～ax（a≠0）
值得注意的是，等價無窮小一般只能在乘除中替換，在加減中替換有時會出錯（加減時可以整體代換，不能單獨代換或分別代換）。
擴充套件資料等價無窮小一般只能用於乘除運算中的因式代換，不能隨意用於和差運算：
兩個同價而不等價的無窮小之差的每一項可進行等價無窮小代換，例如當x→0時，tan5x－sin2x等價於5x－2x＝3x，但兩個等價的無窮小之差的各項不能進行上述等價無窮小代換，例如當x→0時，tanx－sinx不等價於x－x＝0，這是因為兩個等價的無窮小之差是乙個更高階的無窮小（甚至為零），而兩個同價而不等價的無窮小之差仍與這兩個無窮小同階．
高等數學 等價無窮小替換問題
9樓：安克魯
1、「等價無窮小
的替換一般發生在計算兩個無窮小的比值的極限（或者說是兩個無窮小極限值之比）時」。
[評析] 完全正確！
2、「等價無窮小在是乘除時可以替換，加減時不可替換」。
[評析] 不完全對！
如果只是無窮小之間的加加減減時，結果一定還是無窮小，完全可以替代。
如果加減時，還涉及到其他運算，則不能一概而論。
只要是等價無窮小，都可以替換。
3、「在計算等價無窮小之比的極限時，理論上要替換，是要替換掉分子上的無窮小（整個式子），或者分母上的無窮小（整個式子），這時其實是將整個分子或分母當作乙個無窮小」。
[評析]：完全正確！
4、「而如果分子或分母上的無窮小不是由乙個因式（如單單乙個sin x,或tan x）構成的，而是由多個因式通過相乘除或相加減構成的，如 ln（1+x）* x 和ln（1+x）+ x 。那麼可以找乙個與ln（1+x）* x 或 ln（1+x）+ x 的等價無窮小量來替換他。
因為ln（1+x）*x 這個無窮小是由兩個因式 想乘而成的，所以替換掉其中乙個ln（1+x）為 x，之後形成的x^2 就是ln（1+x）* x的 等價無窮小，所以可以替換。而ln（1+x）+ x ，因為其是由兩個因式相加而形成的無窮小量，所以如果替換掉ln（1+x）為x，而形成的2x不是ln（1+x）+ x的等價無窮小，所以也就不能替換」。
[評析]：樓主被網上誤導了！
x 與 ln(1+x） 是同價無窮小
x^2 與 x*ln(1+x) 仍然是同價無窮小 。
2x 與〔x + ln(1+x)〕也是同價無窮小。
樓主後面受網上誤導不淺。趕緊糾正。
10樓：電燈劍客
這個問題很多人都搞不明白，很多自認為明白的人也不負責任地說一句「乘除可以，加減不行」，包括不少高校教師。其實這種**是不對的！關鍵是要知道其中的道理，而不是記住結論。
1.做乘除法的時候一定可以替換，這個大家都知道。
如果f(x)～u(x)，g(x)～v(x)，那麼lim f(x)/g(x) = lim u(x)/v(x)。關鍵要記住道理
lim f(x)/g(x) = lim f(x)/u(x) * u(x)/v(x) * v(x)/g(x)
其中兩項的極限是1，所以就順利替換掉了。
2.加減法的時候也可以替換！但是注意保留餘項。
f(x)～u(x)不能推出f(x)+g(x)～u(x)+g(x)，這個是很多人說不能替換的原因，但是如果你這樣看：
f(x)～u(x)等價於f(x)=u(x)+o(f(x))，那麼f(x)+g(x)=u(x)+g(x)+o(f(x))，注意這裡是等號，所以一定是成立的！
問題就出在u(x)+g(x)可能因為相消變成高階的無窮小量，此時餘項o(f(x))成為主導，所以不能忽略掉。當u(x)+g(x)的階沒有提高時，o(f(x))仍然是可以忽略的。
比如你的例子，ln(1+x)+x是可以替換的，因為
ln(1+x)+x=[x+o(x)]+x=2x+o(x)，
所以ln(1+x)+x和2x是等價無窮小量。
但是如果碰到ln(1+x)-x，那麼
ln(1+x)+x=[x+o(x)]-x=o(x)，
此時發生了相消，餘項o(x)成為了主導項。此時這個式子仍然是成立的！只不過用它來作為分子或分母的極限問題可能得到不定型而無法直接求出來而已。
碰到這種情況也不是說就不能替換，如果你換乙個高階近似：
ln(1+x)=x-x^2/2+o(x^2)
那麼ln(1+x)-x=-x^2/2+o(x^2)
這個和前面ln(1+x)-x=o(x)是相容的，但是是更有意義的結果，此時餘項o(x^2)可以忽略。也就是說用x-x^2/2作為ln(1+x)的等價無窮小量得到的結果更好。
從上面的例子就可以看出來，餘項很重要，不能直接扔掉，因為餘項當中包含了一定的資訊。而且只要保留餘項，那麼所做的就是恒等變換(注意上面我寫的都是等式)而不是近似，這種方法永遠是可行的，即使得到不定型也不可能得出錯誤的結論。等你學過帶餘項的taylor公式之後對這一點就會有更好的認識。
高等數學，為什麼乙個式子中的乘除可以用等價無窮小替換，加減就不行？
11樓：匿名使用者
無窮小替換可以看作泰勒公式的拓展用法，比如sinx~x 就是sinx =x+o(x), 乘除法就把後邊的o(x)約掉了，加減法就不行
12樓：匿名使用者
加減你用等價無窮小幹嘛？
兩個無窮小的和或差還是無窮小，也就是極限就是0啊。
畫蛇添足。
高等數學，關於等價無窮小的替換，我還是不懂為什麼只有整個式子的乘除因子可用替換，而加減或者部分式子
13樓：尹六六老師
加減也並非完全不可用，
但就你們目前的理解能力，
基本上一用就錯。
可以這麼說吧，
命題老師出這種題，
就是明顯挖著坑在，
還要在上面豎一面旗幟，
上面寫著，「這是坑」
假如老師不這麼規定，
你們肯定圖方便，
結果就是乙個字，錯。
這種問題，包含情況過於繁多且複雜，
所以，可以作為乙個基本準則記住。
再說了，
有很大可能會出錯的法則，
我就不懂，
你們幹嘛非用不可？
難道不會用泰勒公式這個萬能方法嗎？
高等數學問題，高等數學的問題？
上下約去 x 1，分母 0 得垂直漸近線 x 0 和 x 1 2 條，令 x 得水平漸近線 y 1 1 條。垂直漸近線，即使得y 的x的取值，顯然有兩條，x 0,x 1 水平漸近線，即x趨向 時，y的取值 顯然，x趨向 y 1,有一條水平漸近線 付費內容限時免費檢視 回答親親，題目發一下幫您解答 提...
高等數學求極值問題，高等數學，求質心的問題。
解題過程如圖所示，這個題目要把邊界考慮進去，有不清楚的可以討論 17.d y 5x 2,y 1 交於 m 1 5,1 n 1 5,1 1 5 0.447.f 3xy 7x 3y,f 3y 7,f 3x 3,得唯一駐點 p 1,7 3 p 顯然在 d 區域之外。最值應在邊界上。邊界 y 1，則 f x...
高等數學級數問題，高等數學關於級數的問題
電燈劍客 記u n sum f k v n int f x dx，求和和積分範圍都是n到2n 那麼利用單調性知道 u n f n v n u n 1 n 1 f 2n u n n 1 f n 2 nf 2n v n nf n 3 由於f n 單調有界，必有極限，記a lim f n 那麼a 0。若a...