1樓：數學好玩啊
先證a^2+b^2+c^2≥1/3(a+b+c)^2等價於3(a^2+b^2+c^2)>=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca
即2a^2+2b^2+2c^2>=2ab+2bc+2ca（1）
因為（a-b)^>=0,所以a^2+b^2>=2ab
同理b^2+c^2>=2bc
c^2+a^2>=2ca
3式相加即證（1），故不等式a^2+b^2+c^2≥1/3(a+b+c)^2成立
再證1/3(a+b+c)^2≥ab+bc+ac，即證a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca>=3ab+3bc+3ca
即a^2+b^2+c^2>=ab+bc+ca與(1)等價，故1/3(a+b+c)^2≥ab+bc+ac也成立
綜上，不等式a^2+b^2+c^2≥1/3(a+b+c)^2≥ab+bc+ac成立，等號都在a=b=c時取得。
另解：a^2+b^2+c^2≥1/3(a+b+c)^2等價於(a+b+c)/3<=[(a^2+b^2+c^2)/3]^(1/2)
這是an<=qn即算術平均《=平方平均在n=3的特例
1/3(a+b+c)^2≥ab+bc+ac等價於a^2+b^2+c^2>=ab+bc+ca這是排序不等式正序和》=亂序和
因此，原不等式成立。
2樓：魏興雨
先證a^2+b^2+c^2≥1/3(a+b+c)^2即證a^2+b^2+c^2≥1/3(a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc)
即證2/3(a^2+b^2+c^2)≥2/3(ab+ac+bc)即證a^2+b^2+c^2≥ab+ac+bc兩邊同乘以2
即證（a^2+b^2）+（c^2+a^2）+（b^2+c^2）≥2ab+2ac+2bc
顯然成立
再證1/3(a+b+c)^2≥ab+bc+ac即證1/3(a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc)≥ab+bc+ac
即證1/3(a^2+b^2+c^2)≥1/3（ab+ac+bc)已證成立，得證
3樓：匿名使用者
∵a^2+b^2≥2ab,b^2+c^2≥2bc,,a^2+c^2≥2ac
(a+b+c)^2 =a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc≤a²+b²+c²+a^2+b^2+b^2+c^2+a^2+c^2=3a²+3b²+3c²
∴a^2+b^2+c^2≥1/3(a+b+c)^2
∵（a^2+b^2）+（c^2+a^2）+（b^2+c^2）≥2ab+2ac+2bc
即a²+b²+c²≥ab+bc+ac
∴1/3(a+b+c)^2 =1/3(a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc)≥1/3(3ab+3bc+3ac)=ab+bc+ac
∴:a^2+b^2+c^2≥1/3(a+b+c)^2≥ab+bc+ac【證畢】
已知a,b,c均為實數,求證a^2+b^2+c^2大於等於1/3(a+b+c)^2
4樓：沒好時候
(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bca^2+b^2≥2ab
a^2+c^2≥2ac
b^2+c^2≥2bc
∴(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc≤3(a^2+b^2+c^2)
∴a^2+b^2+c^2≥1/3(a+b+c)^2(a=b=c時等號成立)
已知a，b，c均為正實數，a+b+c=1，求證：a^2+b^2+c^2>=1/3
5樓：公子翀
^^因為
（a+b+c）^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac且2ab<=a^專2+b^2
2ac<=a^2+c^2
2bc<=b^2+c^2
所以：屬a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac<=3(a^2+b^2+c^2)
所以：3(a^2+b^2+c^2)>=1
所以：a^2+b^2+c^2>=1/3
6樓：匿名使用者
^^a，b，c均為正zhi實數，
a+b+c=1
(a+b+c)^dao2=1
a^2+b^2+c^2=1-2ab-2bc-2ca又：a^2+b^2≥
內2ab，b^2+c^2≥2bc，c^2+a^2≥2ca∴容a^2+b^2+c^2≥ab+bc+ca∴1-2ab-2bc-2ca≥ab+bc+ca∴ab+bc+ca≤1/3
7樓：匿名使用者
^^^柯西不等複式:（
∑（制ai^2；））（∑（bi^2;)) ≥ （∑ai·bi)^2（a^2+b^2+c^2）（1^2+1^2+1^2）≥ （1a+1b+1c）^2
3（a^2+b^2+c^2）≥1得a^2+b^2+c^2≥1/3當且僅當(a/1)=(b/1)=(b/1),即a=b=c1/3
已知a,b,c屬於實數，且a+b+c=1,求證a^2+b^2+c^2>3
8樓：她是朋友嗎
題目du有誤
已知abc是實數，zhia+b+c=1,求證：a^dao2+b^2+c^2>=1/3
（回1）（a+b+c）^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc =1 又因為（2）a^2+b^2>=2ab（3） a^2+c^2>=2ac（4）b^2+c^2>=2bc 把五個答式子的左邊加起來3a^2+3b^2+3c^2+2ab+2ac+2bc 大於等於五個式子右邊加起來1+2ab+2ac+2bc就是3a^2+3b^2+3c^2+2ab+2ac+2bc >=1+2ab+2ac+2bc所以a^2+b^2+c^2>=1/3
9樓：山師建彬
顯然不可能
比方abc都等於1/3
那麼a^2+b^2+c^2就等於1/3
你是不是抄錯了啊？
仔細點，再想想，祝你學習進步~~
設a，b，c均為正實數，且a b c，求證 a 2 3 b 2 3 c
樓上的都太繁了，這裡給個利用函式單調性的簡證 證明 建構函式f x x 2 3 令f x f x x x 1 3 顯然，當x 0時，f x 為減函式。而我們所證即f a f b f a b 而f a b a b f a b 又注意到f a f b af a a bf b b af a bf b 於是...
已知實數a，b，c滿足a 2 b 2 1,b 2 c 2 2,c 2 a 2 2,則ab bc ca的最小值為幾
真的很善良 b 2 c2 2,c2 a2 2 所以a和b絕對值相等,因為a2 b 2 1所以a和b可求,所以c可求 那麼ab bc ca是定值.ab bc ca a b c 2 a2 b2 c2 2 a b c 2 5 2 2 需要求a b c最小的絕對值 事實上是 跟3 2 跟2,這時候a b 1...
已知a b c是非零實數,且a 2 b 2 c 2 1，a
飄雪依夢 解 a 1 b 1 c b 1 a 1 c c 1 a 1 b 3，a b a c b a b c c a c b 3。b c a a c b a b c 3，a b c a 1 a b c b 1 a b c c 1 3。a b c a a b c b a b c c 0。a b c 1...