當x1時,如何證明xlnx以及xln 1 x

1樓：實變函式學十遍

考慮y=x,y=lnx,y=ln(1+x)求導，分別為1，1/x，1/(1+x)

當x〉1時，y=x的斜率最大

當x=1時，y=x的值最大

所以x>lnx，x>ln(1+x)

補充：一個函式的極值點存在於導數為零點或不存在點y=x^3+ax^2+bx+c求導

y'=3x^2+2ax+b

這是一個二次函式，判別式為

4a^2-12b=4(a^2-3b)<0

所以原函式導數既無零點也無不存在點，沒有極值y'已經求出來，顯然函式處處可導

二次函式判別式小於零那麼就沒有零點

就相當於一元二次方程判別式小於零無解一樣

2樓：

解：（1）先證x>ln(1+x)。

設y(x)=x-ln(1+x),

則y'(x)=1-1/(1+x)。

當x>1時，y'(x)>0,即y(x)遞增，所以有y(x)>y(1)=1-ln2>0,即x-ln(1+x)>0，從而x>ln(1+x)。

（2）再證x>lnx。

由lnx的性質知：

當x>1時，ln(1+x)>lnx，

又由（1）知，x>ln(1+x)，

所以x>lnx。

3樓：匿名使用者

求到數麼````

斜率(導數值)在x>1時大一些,那麼x>lnx以及x>ln(1+x)

4樓：

設函式y=x-㏑x,求導得y’=1-1/x

x>1,1-1/x>0即y= x-㏑x此時為增，當x=1是有最小值，y=1>0,得當x>1時，x-㏑x恆大於0，即x>㏑x.

設函式y=x-㏑(1+x), y’=1-1/(x+1),當x>1, y’>0, 即y= x-㏑(x+1)此時為增, 當x=1是有最小值,y=1-㏑2>0, 得當x>1時，x-㏑(x+1) 恆大於0，即x>㏑(1+x)

5樓：單樂雙雪漠

證明：此題用拉格朗日定理來證明。

在區間(x,x+1)對函式lnx運用拉格朗日定理，ln(x+1)-lnx=1/ξ(x+1-x)=1/ξx<ξ

1/(1+x)

所以當：x>0時：ln(1+x)-lnx>1/(1+x)

如何用中值定理證明x/(1+x)0？

6樓：曉龍修理

證明來：

不等自式兩邊同時除以x

∵ x大於0，不等號方向不變

∴1/(1+x)又∵ ln1=0

∴存在c∈(1,1+x)

ln(1+x)/x=【ln(1+x)-ln1】/x=1/c∵ c∈(1,1+x)

∴1/(1+x)<1/c<1得證

證明數列極限的方法：

設一元實函式f(x)在點x0的某去心鄰域內有定義。如果函式f(x)有下列情形之一：

1、函式f(x)在點x0的左右極限都存在但不相等，即f(x0+)≠f(x0-)。

2、函式f(x)在點x0的左右極限中至少有一個不存在。

3、函式f(x)在點x0的左右極限都存在且相等，但不等於f(x0)或者f(x)在點x0無定義。

則函式f(x)在點x0為不連續，而點x0稱為函式f(x)的間斷點。

7樓：所示無恆

不等bai式兩邊同除以x，因為x大於

du0，不等號方向不變

zhi；即

1/(1+x)又

daoln1=0;觀察中間發現，

版這個剛好是拉格朗日中權值定理的形式

即存在c∈(1,1+x),使得

ln(1+x)/x=【ln(1+x)-ln1】/x=1/c;

因為c∈(1,1+x)；

所以1/(1+x)<1/c<1得證。

8樓：磨墨舞文

ls各位沒用到中bai值定理du= =

不等式兩邊同除以x，因為x大於0，不zhi等號方dao向不變；即內1/(1+x)發現，這容個剛好是拉格朗日中值定理的形式即存在c∈(1,1+x),使得

ln(1+x)/x=【ln(1+x)-ln1】/x=1/c;

因為c∈(1,1+x)；

所以1/(1+x)<1/c<1得證

9樓：匿名使用者

f(x)=x/(1+x)

g(x)=ln(1+x)

h(x)=x

f(0)=g(0)=h(0)

f'

故而得證：f

所以x/(1+x)

10樓：匿名使用者

令g(x)=ln(1+x)

由於g(x)= ln(1+x)-ln(1+0)=1/(1+c)(1+x-1)= x/(1+c)其中 0

所以 x/(1+x)

11樓：匿名使用者

f(x)=ln(x)

ln(1+k)-ln(1)/k =1/c

在這裡1

1

k/(1+k)

得x/(1+x)

證明：當x＞0時，有不等式（1+x）ln（1+x）＞arctanx

12樓：我是一個麻瓜啊

證明bai過程如下：

令f（dux）

zhi=（1+x）ln（1+x）dao-arctanx，x≥0，則f（0）=0，且在[0，+∞）上可導。

因為回f′（x）=ln（1+x）+1-1/（1+x²）=ln（1+x）+x²/（1+x²）

故當x＞0時，答f′（x）＞0

從而，f（x）在[0，+∞）上嚴格單調遞增故當x＞0時，f（x）＞f（0）=0

即：（1+x）ln（1+x）＞arctanx

13樓：茭欪軋

證明：令f（x）=（1+x）ln（1+x）-arctanx，x≥0，則f（0）=0，且在[0，+∞）上可導．

因為f′（

x）=ln（1+x）+1-1

1+x=ln（1+x）+x

1+x，

故當專x＞

屬0時，f′（x）＞0，

從而，f（x）在[0，+∞）上嚴格單調遞增，故當x＞0時，f（x）＞f（0）=0，

即：（1+x）ln（1+x）＞arctanx．

高數 試證：當x>0時， 有1/1+x