來高中數學競賽高手求證 a 2 b 2 c 2 23 a 3b b 3c c 3a

時間 2021-09-10 10:21:49

1樓:銀翼怪盜快鬥

不知道怎麼證明,但是一看就是對的,因為這是公式...

我只能給你思路,這個是三個引數的均值不等式(均值不等式是兩個引數),道理是一樣的

2樓:匿名使用者

(a^2+b^2+c^2)^2 - 3(a^3b+b^3c+c^3a) = 1/2 [(a^2-2ab+bc-c^2+ca)^2 + (b^2-2bc+ca-a^2+ab)^2 + (c^2-2ca+ab-b^2+bc)^2] >=0

(代數變形的部分就留給你自己了哈)

3樓:匿名使用者

由基本不等式得(a^2+b^2+c^2)>=3*(abc)^(2/3)

則 (a^2+b^2+c^2)^2>=9*(abc)^(4/3)即只需證 9*(abc)^(4/3)>=3(a^3b+b^3c+c^3a)

即 3*(abc)^(4/3)>=1(a^3b+b^3c+c^3a)變式的 3>=(a^3b+b^3c+c^3a)/(abc)^(4/3)

只需證明上式成立即可

有基本不等式易得上式成立 所以原式成立

4樓:安晨海

解:令a=b+c-2a,b=c+a-2b,c=a+b-2c,則a+b+c=0,

∴a3+b3+c3-3abc

=(a+b+c)(a2+b2+c2-ac-bc-ab)=0,∴a3+b3+c3=3abc,

即(b+c-2a)3+(c+a-2b)3+(a+b-2c)3=2(b+c-2a)(c+a-2b)(a+b-2c)

5樓:匿名使用者

直接用排序不等式,立即秒殺。

6樓:匿名使用者

這個打字好麻煩。1/16(4a2+4b2+4c2)2a2+a2+a2+c2>=4根號c^3a 將其設為xb2+b2+b2+a2>=4根號a^3b yc2+c2+c2+a2>=4根號c^3a z後面應該可以算了

求證:a^2+b^2+c^2>=ab+bc+ac

7樓:匿名使用者

證:(a²+b²+c²)-(ab+bc+ac)=(1/2)(2a²+2b²+2c²-2ab-2bc-2ac)=(1/2)[(a²-2ab+b²)+(b²-2bc+c²)+(c²-2ac+a²)]

=(1/2)[(a-b)²+(b-c)²+(c-a)²]平方項恆非負,(a-b)²≥0,(b-c)²≥0,(c-a)²≥0(a-b)²+(b-c)²+(c-a)²≥0,當且僅當a=b=c時取等號。

1/2為正常數,(1/2)[(a-b)²+(b-c)²+(c-a)²]≥0

(a²+b²+c²)-(ab+bc+ca)≥0a²+b²+c²≥ab+bc+ca

8樓:匿名使用者

^(a-b)²+(b-c)²+(c-a)²≥0(a²+b²-2ab)+(b²+c²-2ac)+(c²+a²﹣2ac)≥0

2a²+2b²+2c²-2ab-2bc-2ac≥02a²+2b²+2c²≥2ab+2bc+2aca^2+b^2+c^2>=ab+bc+ac主要是採用完全平方差公式(a-b)²=a²+b²-2ab≥0的變形和引申

求助一道高中數學題,請高手幫忙。已知實數a,b,c滿足a>b>c,且有a+b+c=1, a^2+b^2+c^2=1 求證:a+b<4/3

9樓:飄渺的綠夢

sunzhenwei114  所給出的答案不能成立。

其中的a+b≧2√(ab)必須建立在a、b都是非負數的前提下,但條件中沒有,也無法推出。

下面給出一個合理的解法:

∵a+b+c=1、a^2+b^2+c^2=1,∴a+b=1-c、a^2+b^2=1-c^2。

引入函式:f(x)=(x+a)^2+(x+b)^2。

∵a>b,∴f(x)>0。

又f(x)=(x^2+2ax+a^2)+(x^2+2bx+b^2)=2x^2+2(a+b)x+(a^2+b^2),

∴f(x)=2x^2+2(1-c)x+(1-c^2)。

顯然,f(x)是一條開口向上的拋物線,又f(x)>0。

∴方程2x^2+2(1-c)x+(1-c^2)=0的判別式<0,∴4(1-c)^2-8(1-c^2)<0,

∴(1-c)^2-2(1-c^2)<0,∴(1-c)[(1-c)-2(1+c)]<0,

∴(1-c)(-1-3c)<0,∴(3c+1)(c-1)<0,∴-1/3<c<1。

由a+b+c=1,得:c=1-(a+b)。

∴-1/3<1-(a+b)<1,∴-1<(a+b)-1<1/3,∴0<a+b<4/3。

於是,問題得證。

10樓:匿名使用者

求助一道高中數學題,請高手幫忙。已知實數a,b,c滿足a>b>c,且有a+b+c=1, a²+b²+c²=1 ;求證:a+b<4/3

證明:a+b+c=1...........(1);a²+b²+c²=1............(2)

由(1)得c=1-(a+b),代入(2)式得

a²+b²+[1-(a+b)]²=(a+b)²-2ab+1-2(a+b)+(a+b)²=2(a+b)²-2(a+b)+1-2ab=1

於是得(a+b)²-(a+b)-ab=0,故(a+b)²=(a+b)+ab<(a+b)+(a+b)²/4

即有3(a+b)²<4(a+b),兩邊同除以3(a+b),即得a+b<4/3,故證。

11樓:匿名使用者

消c,得a²+b²+[1-(a+b)]²=1整理得a²+b²+(a+b)²-2(a+b)=0∵a²+b²=(a+b)²-2ab

∴2(a+b)²-2(a+b)=2ab

∵a+b≥2sqr(ab)

∴ab≤(a+b)²/4

2(a+b)²-2(a+b)≤(a+b)²/23(a+b)²-4(a+b)≤0

0≤a+b≤4/3

由於a>b>c,得a+b<4/3

12樓:匿名使用者

解: a>b>c,且 a+b+c=1,

有 (a+b+c)^2 = 1

a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac=11+2ab+2bc+2ac=1

ab+bc+ac=0

而a,b,c不可能同號,因為同號時不可能=0所以至少有一個數小於0,再由於a>b>c

所以c<0

所以a+b=1-c>1

由a^2+b^2+c^2=1可得:

(a+b)^2 - 2ab+c^2=1

(1-c)^2 - 2ab+c^2=1

2ab=2c^2-2c

ab=c^2-2c

所以有a+b=1-c , ab=c^2-2c所以方程x^2 + (c-1)x + c^2-2c =0 的兩個根為a和b

所以判別式大於0

即 c^2-2c+1-4c^2+8c > 0解得 -1/3 < c < 1

所以a+b=1-c<4/3

a+b<4/3。

13樓:

c=1-(a+b)

a^2+b^2+(1-(a+b))^2=1所以a^2+b^2+1+(a+b)^2-2(a+b)=1化簡(a+b)^2-2ab+(a+b)^2-2(a+b)=0移項2(a+b)^2=2(ab+a+b)

(a+b)^2=(a+b)+ab小於(a+b)+((a+b)/2)^2

設t=(a+b)

所以t^2小於t+(t/2)^2

3/4t^2-t小於0

t(3/4t-1)小於0

所以0小於t小於4/3

14樓:

我用反證法能證明a+b不大於等於4/3

如果a+b+c=1,請證明a^2+b^2+c^2大於等於1

15樓:匿名使用者

1/2+1/3+1/6=1

1/2²+1/3²+1/6²

=1/4+1/9+1/36

=9/36+4/36+1/36

=14/36<1

高中數學2道大題高手來!詳細點吧!速度

1,1 因為 f x ax 2 bx,f x 2x 7,所以 f x 2ax b 2x 7,a 1,b 7。所以 f x x 2 7x。點pn n,sn 均在函式y f x 的影象上,所以 sn n 2 7n。所以 an sn s n 1 n 2 7n n 1 2 7 n 1 8 2n。故數列的通項...

高中數學題已知0a求證 2sin2acot a 2並求出使等號成立的a的值

利用萬能公式 sin 2tan 2 cos 1 tan 2 2 0 那麼0 tan a 2 0,令tan a 2 k 不等式就是 4sinacosa 4 2k 1 k 1 k 1 k 1 k 變換為8k 1 k 1 k 繼續變換 9k 4 6k 1 0 也就是 3k 1 0 顯然式子成立 命題得證 ...

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1 2個向量平行和2個向量共線意思是一樣的嗎?答 是乙個意思。因為數學裡研究的向量都是 自由向量 即可以在空間裡平行地搬來搬去 的向量。兩個向量平行,把它們的起點都移到座標原點上,它們就會在同一條直線上,就謂之 共線 兩個共線的向量,把它們平行 不改變向量的長度 地分開,就變成了 平行向量 按 自由...