1樓：醜運珊環啟
∵a²+b²+c²=ab+bc+ca，
∴2（a²+b²+c²）=2（ab+bc+ca）（方程兩邊同時乘上相同的數，方程不變）
∴2a²+2b²+2c²-2ab-2bc-2ca=0，∴（a²-2ab+b²）+（a²-2ca+c²）+（b²-2bc+c²）=0
∴因式分解得（a-b）²+（a-c）²+（b-c）²=0，易得a-b=0，a-c=0，b-c=0
∴a=b=c
2樓：賽修德宣從
已知就是1/a+1/b+1/c=1。記x=1/a,y=1/b,z=1/c。則x+y+z=1
原不等式化為(x^4+y^4)/(x^3+y^3)+(y^4+z^4)/(y^3+z^3)+(z^4+x^4)/(z^3+x^3)>=1
而x^4+y^4>=(x^2+y^2)^2/2>=xy(x^2+y^2)，所以2(x^4+y^4)>=x^4+xy(x^2+y^2)+y^4=(x+y)(x^3+y^3)。即(x^4+y^4)/(x^3+y^3)>=(x+y)/2
同理可得(y^4+z^4)/(y^3+z^3)>=(y+z)/2,(z^4+x^4)/(z^3+x^3)>=(z+x)/2
三式相加得(x^4+y^4)/(x^3+y^3)+(y^4+z^4)/(y^3+z^3)+(z^4+x^4)/(z^3+x^3)>=x+y+z=1
已知a,b,c屬於正實數，且a+b+c=1.求證：ab+bc+ca<=1/3
3樓：匿名使用者
證：由均值不等式得
a²+b²≥2ab，b²+c²≥2bc，c²+a²≥2ca(a²+b²)+(b²+c²)+(c²+a²)≥2ab+2bc+2ca
2(a²+b²+c²)≥2(ab+bc+ca)a²+b²+c²≥ab+bc+ca
a+b+c=1
(a+b+c)²
=a²+b²+c²+2ab+2bc+2ca≥ab+bc+ca+2ab+2bc+2ca=3(ab+bc+ca)
(a+b+c)²=1
3(ab+bc+ca)≤1
ab+bc+ca≤1/3
4樓：匿名使用者
a+b+c=1 b+c=1-a
ab+bc+ca = a(b+c)+bc= a(1-a)+bc >>>>>>>> 1
a,b,c屬於正實數, 所以 (b-c)^2>=0, 即 b^2+c^2>=2bc, 兩邊同加2bc 得 (b+c)^2>=4bc
即 bc<=[(b+c)^2]/4 -----> bc<=[(1-a)^2]/4 >>>> 2
結合 1 和 2 得 ,
ab+bc+ca= a(1-a)+bc < = a(1-a)+ [(1-a)^2]/4= 1/4*(1+2a-3a^2)=1/3-3/4(a-1/3)^2<=1/3
5樓：無所謂的文庫
證明：∵a,b,c屬於正實數
∴a＞0，b＞0，c＞0
∵a+b+c=1
∴(a+b+c)²=1
[(a+b)+c]²=1
(a+b)²+2(a+b)c+c²=1
a²+2ab+b²+2ac+2bc+c²=1a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac=12(ab+bc+ac)=1-(a²+b²+c²)........①又∵a²+b²≥2ab
b²+c²≥2bc
a²+c²≥2ac
即：(a²+b²)+(b²+c²)+(a²+c²)≥2ab+2bc+2ac
2(a²+b²+c²)≥2(ab+bc+ac)a²+b²+c²≥ab+bc+ac
∴由①有：
2(ab+bc+ac)≤1-(ab+bc+ac)3(ab+bc+ac)≤1
ab+bc+ac≤1/3
6樓：匿名使用者
(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ac)=1
(a-b)^2≥0
a^2+b^2≥2ab
同理b^2+c^2≥2bc,a^2+c^2≥2aca^2+b^2+c^2≥ab+bc+ac
(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ac)≥ab+bc+ac+2(ab+bc+ac)=3(ab+bc+ac)
(a+b+c)^2=1
3(ab+bc+ac)≤1
ab+bc+ac≤1/3
7樓：匿名使用者
ab+bc+ca
=1/2*(2ab+2bc+2ca)
=1/2*[(a+b+c)^2-(a^2+b^2+c^2)]=1/2-(a^2+b^2+c^2)/2
<=1/2-(a+b+c)^2/6
=1/2-1/6
=1/3
已知a、b、c為正實數,求證：a^3/bc+b^3/ca+c^3/ab>=a+b+c，用演繹推理法
8樓：匿名使用者
這個不等式涉及到兩組數的乘法和，而且大的分子對應的分母反而小，正是排序不等式中的順序和，可以考慮用排序不等式來證明。
不妨設a≥b≥c，則
a³≥b³≥c³，
1/(bc)≥1/(ca)≥1/(ab)，因此由順序和不小於亂序和知
原式≥a³/(ca)+b³/(ab)+c³/(bc)=a²/c+b²/a+c²/b。
又注意到
a²≥b²≥c²，
1/c≥1/b≥1/a，
由亂序和不小於倒序和知
a²/c+b²/a+c²/b≥a²/a+b²/b+c²/c=a+b+c。
綜上，原式≥a+b+c。
9樓：匿名使用者
您好，證明:由三元均值不等式得
(a^3/bc)+b+c>=3a
(b^3/ca)+c+a>=3b
(c^3/ab)+a+b>=3c
三式相加並整理,即得所證式.
已知實數a b c滿足 a b c 2 abc 41）求
由韋達定理 若二次方程ax 2 bx c 0有兩個實根x1，x2則x1 x2 a b，x1x2 a c 是二次方程求根公式x b 根號下 2a，其中 b 2 4ac 1 設a最大,由題意必有a 0，b c 2 a,bc 4 a,於是b,c是方程x 2 a 2 x 4 a 0的兩實根則 a 2 2 4...
已知實數abc均不0且滿足abcbcacabk則
k 1或1 2 a b c a c b b c a k設上式等於k，得 a b kc a c kb b c ka 以上三式相加，得 2 a b c k a b c k a b c 2 a b c 0 k 2 a b c 0 解得 k 2和a b c 0，當a b c 0時，可得 a b c，a c ...
已知a,b,c屬於正實數，且a b c 1 求證 ab bc
證 由均值不等式得 a b 2ab，b c 2bc，c a 2ca a b b c c a 2ab 2bc 2ca 2 a b c 2 ab bc ca a b c ab bc ca a b c 1 a b c a b c 2ab 2bc 2ca ab bc ca 2ab 2bc 2ca 3 ab ...